Добавил:

Eugene_kk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2021

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Підставимо (17.9) і (17.11) в (17.10), отримаємо:

(11 2n 16 3n )

f (z)

n 1

n 0 z

n 0

Цей приклад показує, що для однієї й тієї ж функції

f (z) ряд

Лорана, взагалі кажучи, має різний вигляд для різних кілець.

П р и к л а д 17.2.

Знайти всі Лоранівські

розклади для

функції

f (z)

z z0 , де z0

2 3i .

по степенях

z2 9

Р о з в ’ я за н н я .

Зобразимо функцію у вигляді:

f (z)

(17.12)

z2 9

z 3

У функції f (z) є дві особливі точки: z1 3

і z2 3 .

Відповідно, є три кільця з центром в точці

z0 2 3i ,

в кожному з

яких функція f (z) є аналітичною (рис. 17.2).

I)Враховуючи, що

z1 z0

3 2 3i

1 3i

1 9 10 ,

z 2 3i

маємо

10 .

II)

Враховуючи, що

z2 z0

3 2 3i

5 3i

25 9 34 ,

маємо

z 2 3i

34 .

z 2 3i

III)

34 .

	y
		III
3	0	3
	2	x
	34	II
	34	10
	4	10
	4
	3i
		I

z 2 3i 10

z 2 3i 34

Рисунок 17.2

Тепер діємо аналогічно з прикладом 1, використовуючи формули

(16.17) і (16.18).

	1		1					1							1
I)	f (z)
I)	f (z)	z 3		z 3			z 3 2 3i 2 3i							z 3 2 3i 2 3i
	1							1				1			1

	1 3i (z 2 3i)					5 3i (z 2 3i)							1 3i		1	z 2 3i
															1	1 3i
																1 3i
			1					1
											.				(17.13)
					5 3i				1	z 2 3i	.				(17.13)
										5 3i

z 2 3i

Отже, при

, тобто при

1 3i

z 2 3i

1 3i

або

z 2 3i

можна отримати розклад функції

в ряд:

z 2 3i

1 3i

z 2 3i n

(z 2 3i)n

(17.14)

z 2 3i

1 3i

(1 3i)

n 0

1 3i

Аналогічно,

при

z 2 3i

1, тобто при

z 2 3i

5 3i

або

5 3i

z 2 3i

34 можна отримати розклад в ряд функції

z 2 3i

5 3i

z 2 3i

n (z

3i)

(1)

(17.15)

z 2 3i

5 3i

3i)

n 0

5 3i

Оскільки

34 , розклад (17.15)

є справедливим

крузі

z 2 3i

10 .

Поєднуючи

(17.14)

(17.15),

отримаємо

розклад

функції (17.13) в ряд:

(z 2 3i)n

n (z 2 3i)n

(1)

3i)

(5 3i)

1 3i

n 0

3i n 0

z 2 3i n .

(17.16)

(5 3i)n 1

(1 3i)n 1

n 0

z 2 3i

II) При

10 ряд (17.14) розбігається. Тому зобразимо

функцію

по-іншому:

z 3

(17.17)

1 3i

z 3

z 2 3i (1 3i)

z 2 3i

2 3i

Тоді

1 3i

(17.18)

z 3

z 2 3i

n 1

2 3i

n 0

z 2

n 0

Причому, отриманий ряд збігається при

1 3i

тобто при

z 2 3i

1 3i

z 2 3i

або

10 .

Тепер у кільці

z 2 3i

34 , додаючи ряд (17.18) до ряду

(17.15), отримуємо другий розклад функції

f (z)

в ряд Лорана:

1 3i

f (z)

( 1)n z 2 3i

2 3i)n 1

n 0 (z

n 0

(5 3i)n

1 3i

n 1

z 2 3i

( 1)n

n .

(17.19)

(z 2 3i)

3i)

n 0

z 2 3i

III) При

ряд (17.15) також виявляється розбіжним.

Тоді:

z 3

z 2 3i

5 3i

z 2 3i

Розкладаючи в ряд, отримаємо:

5 3i

( 1)

2 3i

2 3i)n

(z 2 3i)n 1

n 0

(5 3i)

n 1

( 1)n 1

(17.20)

(z 2 3i)

n 1

5 3i

z 2 3i

Цей ряд збігається при

тобто при

34 .

z 2 3i

Додаючи ряди (17.18) і (17.20), отримаємо третій розклад функції

z 2 3i

f (z) в ряд Лорана у кільці

34 :

1 3i

n 1

(5 3i)

n 1

f (z)

( 1)n

(z 2 3i)

n 1

1 3i n 1 ( 1)n (5 3i)n 1

2 3i)

(17.21)

n 1

П р и к л а д 17.3.

Розкласти функцію

f (z) (z 2)2

cos

в ряд

Лорана у кільці 0

z 2

Р о з в ’ я за н н я .

Функція f (z) ( z 2) 2 cos

є аналітичною у кільці 0

z 2

Оскільки для будь-якого комплексного : cos (1)n

n 0

2n !

то, вважаючи

, отримаємо шуканий лоранівський розклад:

z 2

( 1)

(z 2)2 cos

(z 2)2

z 2

(2n)!

2)2n

(2n)! (z 2)2n 2

n 0

(z 2)2

(1)n

4! (z 2)2

6! (z 2)4

(2n)!

2)2n

§18. Класиф ікац і я о соб лив и х т очок фу нкц ії компле ксно ї змі нно ї

В §17 було показано, що, якщо функція f (z) аналітична у кільці


R2	z z0	R1 , то вона може бути розкладеною в цьому кільці в

збіжний ряд Лорана. Нехай тепер R2 0 , тоді функція буде аналітич-
ною у кільці 0			z z0	R , з якого виколото точку z z0 .

Озна чен ня 18.1.				Точка z0 називається ізольованою особли-

вою точкою функції f (z) , якщо ця функція є однозначною і аналітичною у кільці 0 z z0 , а точка z0 є особливою точкою функції f (z) (тобто, в точці z z0 функція не визначена).

П р и к л а д 18.1. Встановити, які точки є ізольованими особли-

вими точками функції f (z) ctg 2z .

Р о з в ’ я за н н я .

Функція f (z) ctg 2z не визначена в тих точках, в яких знамен-

ник обертається в нуль:

cos

sin

ctg

0 , z

0 ,

sin

тобто знаменник обертається в нуль в точці zn

і в точці z0 0 , яка не входить в множину точок

При n			Zn 0 :
			1	1
lim z		lim			0 .
	n
n		n 2n

n , n , 2z

1 n

2n 0

Zn .

Тому точка z0 0 , яка є особливою точкою функції f (z) , не є ізольованою. Такі точки в даній класификації особливих точок не розглядаються.

Дослідимо поведінку функції		f (z)	в околі ізольованої особливої
точки z0 . Розглянемо три випадка.
1)	Ряд Лорана функції f (z) у кільці 0				z z0	R не містить
1)	Ряд Лорана функції f (z) у кільці 0				z z0	R не містить
доданки з від’ємними степенями:

	f (z) Cn (z z0 )n C0 C1 (z z0 ) ... Cn (z z0 )n ... .
	n 0
В цьому випадку існує граничне значення функції f (z) при z z0 :
	lim f (z) C0 .
	z z0
Якщо довизначити функцію		f (z)	в точці z z0 :				f (z) C0 , то
функція	f (z) буде аналітичною в крузі		z z0	R .
функція	f (z) буде аналітичною в крузі		z z0	R .
Цей випадок є аналогічним усувному розриву функції дійсної
змінної.
Озна чен ня 18.2. Ізольована особлива точка z0							функції f (z)

називається усувною, якщо ряд Лорана цієї функції в околі точки z0 не містить членів з від’ємними степенями (z z0 ) .

Очевидно,	якщо точка	z z0	є усувною особливою			точкою
функції f (z) ,	то в цьому випадку існує скінченна границя функції в
цій точці:
	lim f (z) A		( ) .			(18.1)
	z z0
2) Ряд Лорана функції		f (z) у кільці 0		z z0	R містить скін-
2) Ряд Лорана функції		f (z) у кільці 0		z z0	R містить скін-
ченне число k	доданків з від’ємними степенями z z0 , тобто:

f (z)

C k

C k 1

...

C 1

C C (z z ) ...

(z z )k

(z z )k 1

z z

(z z

) ... C (z z

)k ...

(z)

(z z

)k k

k 1

Оскільки (z)

зображена у вигляді степеневого ряду, то вона бу-

де аналітичною в крузі

z z0

R .

Отже,

lim f (z) .

(18.2)

z z0

Озна чен ня 18.3. Ізольована особлива точка функції f (z) називається полюсом порядку k , якщо її розклад в ряд Лорана містить k доданків з від’ємними степенями z z0 , іншими словами, виконується

умова (18.2).

Озна чен ня 18.4. Якщо порядок полюса k 1 , то ізольована особлива точка називається простим полюсом.

Озна чен ня 18.5. Точка z0 називається нулем функції порядку k (або кратності k ), якщо виконуються умови:

	f (z) 0 ;		f (z	0	) 0 ; …; f ( k 1) (z			0	) 0 ;	f (k) (z	0	) 0	.	(18.3)
				0				0			0
Зауважимо,			що точка z0 тоді й тільки тоді є нулем										k -го порядку
функції f (z) , коли в деякому околі цієї точки має місце рівність:
					f (z) (z z	0	)k (z) ,							(18.4)
						0
де функція (z) є аналітичною в точці								z0 і (z0 ) 0 .
З означення (18.3) випливає, що точка z0										є полюсом для функції
f (z) порядку k ,					якщо ця точка є нулем порядку k									для функції
1
(z)		.
(z)	f z	.

Таким чином,

lim f (z) (z z

lim

(z z

z z0

z z0 (z z

)k (z)

lim

(z)

)

Отже, для означення порядку полюса необхідно знайти такий

степень k , для якого:

lim f (z) (z z0 )k

(18.5)

z z0

Ряд

Лорана

функції f (z)

кільці

z z0

R містить

нескінченне число членів з від’ємними степенями (z z0 ) , тобто

f (z)

Cn (z z0 )n .

(18.6)

Озна чен ня 18.6. Ізольована

особлива

точка функції f (z)

називається істотно особливою точкою, якщо розклад в ряд Лорана в околі точки z0 має вигляд (18.6).

В цьому випадку границі функції lim f (z) в цій точці не існує.

z z0

П р и к л а д 18.2. Знайти всі особливі точки функції f (z) і вста-

	1
новити їхній характер f (z)				.
новити їхній характер f (z)		z(ez	1)	.
Р о з в ’ я за н н я .
Знайдемо особливі точки функції.
z 0	ez		1 ;
z(ez 1) 0	ez		1 ;
ez 1	0
				z 0,
z Ln (1) ln1 i(0 2 n) , n Z					2 ni, n Z.
				zn	2 ni, n Z.

При k 0 отримуємо z0

z .

Точки Zn – ізольовані особливі точки функції.

Додслідимо поведінку функції в околах цих точок:

lim f (z) lim

z z0

z 0 z(ez 1)

Отже, z0

0 – полюс функції

f (z) .

Визначимо порядок полюса, користуючись формулою (18.5):

lim

при k 2

lim

1 .

z 0

z(ez 1)

z 0 z z

z 0

Отже, z0

0 – полюс 2-го порядку.

lim f (z) lim

z zn

z 2 ni z(ez 1)

(n 0)

n 0

(z 2 ni)k

lim) f (z) (z z

lim

z(ez 1)

z zn

z 2 ni

zn 2 ni z(ez e2 ni )

(n 0)

n 0

lim

(z 2 ni)k

lim

(z 2 ni)k

при k 1

2 ni

e2 ni (ez 2 ni 1)

2 ni

z e2 ni (z 2 ni)

n 0

lim

e2 ni

2 nie2 ni

2 ni

2 n

Отже, zn

2 ni

n / {0}

– прості полюси функції.

П р и к л а д 18.3. Знайти всі особливі точки функції

f (z) і вста-

новити їхній характер f (z) cos

z 1

Р о з в ’ я за н н я .

Функція

f (z) cos

має єдину особливу точку

z 1 . Пока-

z 1

жемо, що границя

f (z)

при

z 1 не існує. Дійсно,

можна вибрати

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.202127.65 Кб0000846.doc
#
26.03.20211.29 Mб05.docx
#
26.03.2021668.28 Кб07.docx
#
26.03.202137.8 Кб07.mcdx
#
26.03.20212.37 Mб1Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts.pdf
#
26.03.2021449 б0DEFAULT.DFR
#
26.03.202121.69 Кб3Lab1.docx
#
26.03.202111.88 Кб1laba5.docx
#
26.03.202115.94 Mб2Oglyadovi_lektsiyi_z_teplotekhniki.doc
#
26.03.20213.39 Mб19Teplotekhnika_lektsiyi.doc