Добавил:

Eugene_kk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2021

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Р о з в ’ я за н н я .

Перепишемо рівняння (3.15) у вигляді

z3 8i .

Звідси видно, що задача зводиться до знаходження кубічного кореня з 8i . Згідно з теоремою 3.1, існують три різні значення кореня:

k 38i .

Зобразимо число 8i в тригонометричній формі:

8i 8			i sin
8i 8	cos		i sin		.
		2		2

Тоді шуканими значеннями кубічного кореня будуть:

															2 k
													2		2 k										2	2 k
				k		3				8	cos		2					i sin							2					;	k 0,1, 2 .
				k		3				8	cos				3			i sin								3				;	k 0,1, 2 .
															3											3

Звідси:
					cos i sin
																				3					1
	3		8													2				3	i				1				3 i ;
	3		8													2					i								3 i ;
0								6											2						2
								6						6					2						2
		3										2											2										5				5
		3										2											2										5				5
1			8		cos				6						i sin												2 cos								i sin
									6			3							6					3									6				6

																			3				1
																			3				1
2		cos					i sin							2						i									3 i ;
2		cos					i sin							2						i									3 i ;
						6											2						2
						6						6					2						2
2		3										4			i sin							4										3		i sin		3	2i .
		3										4										4										3				3
			8		cos																							2	cos
			8		cos				6										6									2	cos				2			2
									6			3							6				3										2			2

Таким чином, отримаємо розв’язки рівняння:

0 3 i ; 1 3 i ; 2 2i ,

які зображені на рисунку 3.1.

1	2		0
1	3		0
	3		3
2		0	2	x
	2		2
	3		3

	Рисунок 3.1
		1 i		20
		1 i	3	20
П р и к л а д 3.2.	Обчислити			.
П р и к л а д 3.2.	Обчислити	1 i		.
		1 i

Р о з в ’ я за н н я .

Зобразимо число, що стоїть в круглих дужках, в тригонометричній формі, користуючись формулою (3.2):


1 i	3 2			i sin		;
1 i	3 2	cos		i sin		;
			3		3

1 i

	2	cos		i sin	.
			4		4

Тоді отримаємо:


1 i 3								2
											cos												i sin
	1 i

								2							3							4						3				4
								7			i sin					7
								7								7
		2 cos																	.
		2 cos																	.
								12								12
Користуючись формулою (3.7), знайдемо:
1 i							20														7 20								7 20
						3								20											i sin
						3								20

	1 i												2					cos				12								12
	1 i																					12								12
	10							35									35						10
	2			cos								i sin											2	cos 12									i sin 12
	2			cos				3				i sin											2	cos 12							3		i sin 12
								3										3													3						3

	10																							10										10	1		3
	2				cos								i sin										2			cos				i sin				2		i
	2				cos								i sin										2			cos				i sin				2		i
																											3								2		2
										3										3							3					3			2		2
29			1 i							.
29			1 i						3	.

§4. Границ я посл ідо вн ост і комплекс н и х ч ис ел

Для побудови теорії функції комплексної змінної велике значення має перенесення основних ідей математичного аналізу до області комплексних чисел. Одним з фундаментальних понять математичного аналізу є поняття границі і, зокрема, поняття збіжної числової послідовності. Аналогічну роль відіграють відповідні поняття також в області комплексних чисел.

Озна чен ня 4.1. Послідовністю комплексних чисел називається пронумерована нескінченна множина комплексних чисел. Іншими словами, якщо кожному номеру n поставити у відповідність комплексне число zn , то буде визначена послідовність комплексних чисел, яка по-

значається zn .

n 1

Озна чен ня 4.2. Число z називається границею послідовності

, якщо для будь-якого додатного числа можна указати такий

n 1

номер

N , що залежить від , починаючи з якого всі елементи zn

цієї послідовності задовольняють нерівність

z zn

при n N :

0N 0n N :

z zn

(4.1)

Послідовність zn

, що має границю

z , називається збіжною до

n 1

числа z , що записується у вигляді:

lim zn z .

(4.2)

Озна чен ня 4.3.

Множина точок z

комплексної площини, які

лежать всередині круга радіуса з центром у точці z0

z z0

називається -околом точки z0 .

З цього означення випливає, що точка

є границею збіжної

послідовності zn

якщо в будь-якому

-околі точки

z лежать всі

n 1

елементи цієї послідовності, починаючи з номера, який залежить від .

Оскільки кожне комплексне число zn an ibn характеризується

парою дійсних чисел

an і

bn , то послідовності комплексних чисел

zn n 1

відповідають дві послідовності дійсних чисел:

an n 1

і bn n 1 ,

складені відповідно з дійсних і уявних частин елементів

послідовності

. Має місце наступне твердження.

n 1

Те о ре м а 4.1.

Необхідною і достатньою

умовою

збіжності

послідовності zn

є збіжність послідовностей дійсних чисел an

n 1

і bn n 1 :

a ib ; z

z a ib

n n 1 n

n n

n n 1 n

Озна чен ня 4.4.

Послідовність комплексних чисел

на-

n 1

зивається обмеженою, якщо існує таке додатне число

M ,

що для всіх

елементів zn цієї послідовності має місце нерівність zn M .

Основну властивість обмеженої послідовності характеризує наступна теорема.

Тео рема 4.2. З будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну послідовність.

Враховуючи тригонометричне зображення (2.3) комплексного

числа, сформулюємо аналогічне теоремі 4.1 твердження.
Тео рема 4.3.		Нехай			дано		послідовність			комплексних	чисел
zn rn cos n i sin n				,	зображених			в	тригонометричній		формі.
			n 1
Така послідовність збігається до числа								z0	r0 cos 0 i sin 0		тоді й
тільки тоді, коли r			r				, а		.
	n n 1		n			0	n n 1		n	0
Для збіжності послідовності до нуля									достатньо вимагати, щоб
rn	0 .
n 1	n

Послідовність zn		називається нескінченно великою, якщо для
	n 1

будь-якого додатнього		існує такий номер N , який залежить від ,

що для всіх номерів n , починаючи з цього номера буде виконуватися умова zn :

0 N 0 n N :			zn		.
0 N 0 n N :			zn		.
Те, що послідовність zn		нескінченно велика, позначається так:
Те, що послідовність zn	n 1	нескінченно велика, позначається так:
	n 1
lim zn .				(4.3)
n

Зовнішність кола будь-якого радіуса з центром на початку координат на комплексній площині називається околом нескінченності.

§5. Нескінч енно ві ддал ена т очка

Стереографічна проекція точок комплексної площини на сферу дає геометричне тлумачення нескінченно великої послідовності.

Розглянемо сферу скінченого радіуса R , яка дотикається південним полюсом комплексної площини в точці z 0 , тобто діаметр сфери OA є перпендикулярним комплексній площинї . З’єднаємо променем північний полюс з точкою zn (рис. 5.1).

Рисунок 5.1

Тоді точка zn* перетину променя з поверхнею сфери буде стереографічною проекцією zn на сферу. Таким чином, можна встановити

взаємно однозначну відповідність між точками комплексної площини і точками поверхні сфери з виколотим північним полюсом (точкою A ).

Якщо	послідовність zn		наближається до	нескінченності
		n 1

lim zn	, то точки на сфері,		що зображують цю послідовність,
n
необмежено наближаються до точки A . Цю точку				A і вважають за

зображення нескінченності, а відповідну їй єдину точку площини називають нескінченно віддаленою точкою.

О зн а ч е н н я 5.1. Комплексна площина з нескінченно віддаленною точкою називається повною комплексною площиною.

Під околом точки A на сфері розуміють частину поверхні сфери, обмеженої будь-яким колом, яке лежить в площині, перпендикулярній OA . Вона і є стереографічною проекцією окола нескінченно віддаленої точки площини, тобто зовнішності будь-якого кола з центром на початку координат. Зауважимо, що z і z 0 – це точки, що не мають

визначеного аргументу.

Розглянемо послідовність zn

, збіжну до нескінченно віддаленої

n 1

точки.

Складемо

її елементів

послідовність

, тоді

zn n 1

lim n

0 . Вірно

зворотне: тобто, якщо з

елементів

послідовності

, збіжної до нуля, скласти послідовність

то остання

n 1

n n 1

буде збігатися до нескінченно віддаленої точки.

§6. М ножи н а в компл е ксн ій площ ині

Озна чен ня 6.1.

Точка z

називається

внутрішньою точкою

множини E , якщо існує

-окіл точки z , всі точки якого належать

множині E .

Наприклад, точка

множини

E z

2 є внутрішньою

точкою, якщо

2 , а точки z 2 ;

z 2 i не є внутрішніми точками

цієї множини.

Озна чен ня 6.2.

Множина E називається областю, якщо вико-

нуються наступні умови: 1) кожна точка множини E – внутрішня точ-

ка цієї множини; 2) будь-які дві точки множини E можна з’єднати

лінією, всі точки якої належать E .

Умова 2 у визначенні 6.2 називається умовою зв’язності області.

Тобто, множина точок

z i

утворює область, а множина точок

z i 2 не є областю, тому що не всі точки множини є внутрішніми.


Множина точок D		z		z	1;	z 3	1	також не є областю,

тому що не виконується умова зв’язності множини (рис. 6.1).

Im z

Re z

Рисунок 6.1

О зн а ч е н н я 6.3. Точка z називається зовнішньою точкою множини E , якщо існує такий -окіл z , всі точки якого не належать множині E .

Озна чен ня 6.4. Точка z називається межовою точкою множини E , якщо в будь-якому її -околі містяться як точки, належні множині E , так і точки, не належні множині E .

Наприклад, точка z 2 є межовою точкою множини z 2 .

Озна чен ня 6.5. Сукупність всіх межових точок утворює межу множини і позначається E .

Найпростішим прикладом межі області, очевидно, є крива; однак межу області може складати дискретна множина точок. Наприклад,

множина точок z 0 утворює на комплексній площині область, ме-

жею якої є точка z 0 .

Озна чен ня 6.6. Множина, яка утворюється приєднанням до області всіх її межових точок, називається замкненою областю.

Замкнену область звичайно позначають, ставлячи рису над символом області, наприклад: E ; D .

Єдиним прикладом області, яка не має межіі, є розширена комплексна площина.

Будь-яка неперервна замкнена крива без точок самоперетину (Жорданова крива) ділить площину на дві області: одна містить нескінченно віддалену точку (зовнішня), інша не містить (внутрішння). Сама крива є межею обох областей.

Озна чен ня 6.7. Область називається однозв’язною, якщо внутрішність будь-якої Жорданової кривої, належної області, також належить області.

Прикладом однозв’язної області є внутрішня частина круга – її межею служить коло. Прикладом багатозв’вязної ( n – зв’язної) області

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.202127.65 Кб0000846.doc
#
26.03.20211.29 Mб05.docx
#
26.03.2021668.28 Кб07.docx
#
26.03.202137.8 Кб07.mcdx
#
26.03.20212.37 Mб1Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts.pdf
#
26.03.2021449 б0DEFAULT.DFR
#
26.03.202121.69 Кб3Lab1.docx
#
26.03.202111.88 Кб1laba5.docx
#
26.03.202115.94 Mб2Oglyadovi_lektsiyi_z_teplotekhniki.doc
#
26.03.20213.39 Mб19Teplotekhnika_lektsiyi.doc