Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts

може служити область, межа якої складається з n Жорданових кривих: l1;l 2 ;...;ln (рис. 6.2).

Рисунок 6.2

О зн а ч е н н я 6.8. Якщо область E целиком міститься всередині деякого круга скінченого радіуса, то вона називається обмеженою. В протилежному випадку – необмеженою.

35

§7. Функці ї ко мпле ксн ої змін ної

Будемо вважати, що на множині E комплексної площини задано функцію комплексної змінної, якщо задано закон, який ставить у відповідність кожній точці множини E деяке комплексне число або сукупність комплексних чисел. Множину E будемо називати множиною значень незалежної змінної. Якщо кожній точці z E ставиться у відповідність точка , то функція називається однозначною, якщо ставиться у відповідність сукупність точок , тоді функція називається багатозначною. Символічно вказану відповідність будемо записувати у вигляді

Оскільки кожне комплексне число характеризується парою

функція v x, y – уявною частиною функції f z .

Геометрична интерпретація поняття функції (7.1) комплексної змінної заключається в тому, що рівністю f z встановлюється

закон відповідності між точками z області E комплексної площини і точками області G комплексної площини. Очевидно, встановлюється і зворотна відповідність – кожній точці G ставиться у відповідність

36

одна або декілька точок z області E . Це означає, що в області G задано (однозначну або багатозначну) функцію комплексної змінної :

Функція (7.3) називається оберненою для функції (7.1). Область задання G функції є областю значень функції f z .

Озна чен ня 7.1. Функція f z називається однолистою функ-

цією в області E , якщо в різних точках z цієї області вона приймає різні значення.

37

§8. Основні елеме нт арні фун кц ії компле ксн ої змін ної

тому що ставить у відповідність будь-якому комплексному числу

zx iy cos i sin 0 число

nein n cos n i sin n .

k 0,1,..., n 1 ,

тобто, визначає n різних однозначних функцій.

8.2. Показникова функція ez .

Оскільки z x iy , то ez визначається співвідношенням ez ex iy ex cos y i sin y ex cos y iex sin y ,

тобто

Re ez u x; y ex cos y ,

Imez v x; y ex sin y .

Показникова функція володіє наступними властивостями. 1°. Функція є однозначною.

2°. Для дійсних значень z x означення збігається з означенням показникової функції для функцій дійсной змінної.

38

3°. Зберігається основна властивість показникової функції:

ez1 z2 ez1 ez2 .

4°. Показникова функція не обертається в нуль в жодній точці комплексної площини.

5°. В комплексній площині показникова функція є периодичною з суто уявним періодом T 2i :

ez 2 i ez k .

8.3. Логарифмічна функція Ln z z 0 .

Логарифмічна функція Ln z визначається як обернена до по-

казникової функції:

Lnz ln z iArgz ln z i 2 k , k .

1°. Логарифмічна функція Ln z є багатозначною, тому що для будь-

якого z 0 існує нескінченна множина значень Ln z , у яких дійсна ча-

стина u ln z , а уявні частини відрізняються на доданок 2 k .

2°. При k 0 виділяють однозначну функцію ln z : ln z ln z i .

Функцію ln z називають головним значенням функції Ln z .

3°. Для додатних дійсних чисел головне значення логарифма збігається зі значенням логарифмічної функції дійсної змінної і володіє усіми її властивостями.

4°. Зберігаються основні властивості логарифмічной функції:

39

8.4. Тригонометричні функції.

Функції ez ; cos z ; sin z зв’язані формулами Ейлера:

функції дійсної змінної sin z і cos z ) можуть приймати скільки завгодно більші за модулем значення (тобто больші за одиницю).

40

8.5. Гіперболічні функції.

Гіперболічні функції в комплексній області визначаються рівностями:

Для гіперболічних функцій виконуються всі співвідношення, які зв’язують гіперболічні функції дійсного аргументу. В комплексній площині sh z і ch z є періодичними функціями з суто уявним періодом

2i , а th z і cth z – з періодом i .

Для гіперболічних і тригонометричних функцій мають місце наступні

8.6. Обернені тригонометричні та гіперболічні функції.

Обернені тригонометричні і гіперболічні функції Arcsin z , Arccos z ,

sh , ch , th , cth . Всі ці функції є багатозначними і виражаються через логарифмічні функції:

Arcsin z i Ln iz 1 z2 ; Arsh z Ln z z2 1 ; Arccos z i Ln iz z2 1 ; Arch z Ln z z2 1 ;

Arctg z 2i Ln 11 iziz ; Arth z 12 Ln 11 zz , z 1 ;

Arcctg z 2i Ln zz ii ; Arcth z 12 Ln zz 11 , z 1 .

41

Функція багатозначна, її головним значенням буде

az ez ln a .

П р и к л а д 8.1. Зобразити комплексне число в алгебраїчній формі.

Знайти головне значення. Зобразити на комплексній площині Ln 3 i .

42

ln 2 0, 7

0, 52 6

Остаточно маємо:

43

Р о з в ’ я за н н я .

Скористуємося формулою:

44