Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts

§

3. Власт ивост і перет ворен ня Лапла са

1°. Власт ивіст ь ліні йност і .

Тео рема 3.1.

Нехай

f t F p ,

g t G p .

Тоді

для будь-яких комплексних сталих і є справедливим вираз:

f t g t F p G p .

(3.1)

П р и к л а д 3.1.

Знайти зображення функції f t 1 t .

Р о з в ’ я за н н я .

Подамо початкову функцію у вигляді: f t f1 t f2 t , де

f1 t 1 ,

f2 t t . З формул (2.2) і (2.8) маємо:

1 t

1

,

p

t t1

1!

1

.

1 1

p

2

p

За формулою (3.1.):

1 t

1

1

p 1

.

p2

p

p2

Таким чином:

F p

p 1

.

p2

Р о з в ’ я за н н я .

Подамо початкову

функцію

у

вигляді f t 2 f1 t f2 t , де

f1 t sin t , f2 t cost . З формул (2.4) і (2.5) маємо:

1

p

sin t

;

cos t

.

p2

1

p2 1

F p 2

1

p

2 p

.

p2 1

p2 1

p2 1

2°. Тео рема 3.2 (теорема п одібно ст і ). Нехай оригінал

f t має своїм зображенням функцію

F p f t F p . Тоді

для будь-якого сталого 0

f t

1

p

F

.

(3.2)

sin2 t

1 cos 2t

1

1

cos 2t .

2

2

2

2

1

1 1

p

1

p2 4 p2

2

sin

t

.

2

p

2

p2

4

2

p2 4 p

p p2 4

П р и к л а д 3.4.

Використовуючи теорему

подібності, знайти

зображення наступної функції

f t 7sin 7t cos3t 3 .

7 sin 7t cos 3t 3

7

10

7

4

3

1

p2

2

102 p2

2

42

p

35

14

3

p2

p2

100

16

p

35

p3

16 p 14 p3 100 p 3 p2

100 p

2 16

p p2 16 p2 100

3 p4 49 p3

348 p2

1960 p 4800

.

p p2 16 p2

100

П р и к л а д 3.5.

Використовуючи

теорему

подібності, знайти

зображення наступної функції

f t 2 4cos 2t 3 .

Р о з в ’ я за н н я .

Перетворимо початкову функцію:

2 4cos 2t 3 2 4 cos 2t cos3 sin 2t sin 3

2 4 cos 3 cos 2t 4sin 3 sin 2t .

За формулами (3.4) і (3.5) маємо:

cos 2t

p

sin 2t

2

;

.

p2

4

p2

4

2 4 cos 2t 3

2

4 cos 3

p

4sin 3

2

p

p2 4

p2 4

2

4 p cos 3 2 sin 3

2 p2

8 4 p p cos 3 2 sin 3

.

p2 4

p

p2 4

нала). Нехай функції

f t ; f 1 t ; f 2 t ; …; f n t є функціями-

оригіналами і f t F p , тоді:

f t p F p f 0 ,

(3.8)

f t p2 F p p f 0 f 0 ,

(3.9)

………………………………………………………………

f n t pn F p pn 1 f 0 pn 2 f 1 0 ... f n 1 0 ,

(3.10)

де під f k 0 k 1, 2,..., n 1 розуміється

lim f k t .

t 0

П р и к л а д 3.6.

Використовуючи теорему про диференціювання

оригінала, знайти зображення функції f t sin2 t .

Р о з в ’ я за н н я .

Якщо за теоремою про диференціювання оригінала

sin2 t F p ,

то за формулою (3.8):

sin2 t p F p sin2 0 ,

2 sin t cos t p F p ,

sin 2t p F p .

(3.11)

За формулою (3.4):

2

sin 2t

.

(3.12)

p2 4

А з теореми 1.2 про єдиність зображення вирази (3.11) і (3.12) є

рівними, тобто:

2

p F p

,

p2 4

F p

2

.

p p2 4

Таким чином,

2

2

sin

t

.

p p2 4

t cos3t F p ,

(3.13)

f 0 t cos3t

t 0 0 ,

f 0 cos3t

3t sin 3t

t 0 1 .

t cos 3t p2

F p 1 .

(3.14)

Формула (3.4) дає зображення функції sin 3t :

sin 3t

3

.

(3.15)

p2

9

t cos 3t 6 sin 3t 9t cos 3t 6

3

9

F p

p2

9

18

9 F p .

(3.16)

p2 9

p2 F p 1

18

9 F

p .

(3.17)

p2 9

З рівності виразимо F p :

p2 F p 9 F p 1

18

,

p2 9

F p p2 9

p2 9 18

.

p2 9

Шукане зображення для f t t cos 3t :

F p

p2 9

.

p2 9 2

4°. Теорема 3.4 (теорема про диф еренціювання зобра -

жен ня ).

Нехай функція-оригінал f t має своїм зображенням

F p f t F p . Тоді

t f t F p .

(3.18)

t n f t F n p ,

(3.19)

або, враховуючи властивість лінійності:

t n f t 1 n F n p .

(3.20)

П р и к л а д 3.8.

Знайти зображення наступної функції, викорис-

товуючи властивість диференціювання зображення

f t t3 e4t .

e4t

1

F

p

1

.

p 4

p

4

Оскільки e4t

множиться на t 3 , то застосуємо формулу (3.20):

1

1

3

t

3

e

4t

3

.

p 4

1

3

Обчислимо

:

p 4

1

1

1 p

4

2

,

p 4

1

2

1 2 p

4

3

2

p

4

3

,

p 4

1

3

3 p 4

6

2

4

.

p

4

4

p 4

t

3

e

4t

1

3

6

6

.

p 4 4

p 4 4

П р и к л а д 3.9.

Знайти зображення наступної функції, викорис-

товуючи властивість диференціювання зображення

f t t2 sin 3t .

Р о з в ’ я за н н я .

Запишемо за формулою (3.4) зображення функції sin 3t :

3

sin 3t

.

p2

9

Множник t 2 n 2 говорить про необхідність знаходження похід-

ної другого порядку від зображення

3

, оскільки за формулою (3.20):

p2 9

3

2

3

2

t 2 sin 3t 1

2

.

p

2

p

2

9

9

Знайдемо цю похідну:

3

1

3 2 p

6 p

2

9

p2 9

2

p2 9

2

p

3

2

1 p2

9 2 2 p2 9 2 p p

9 3 p2

6

6

2

9

p2 9

4

p2

9

3

p

Нехай функція-оригінал

f t

має зображення

F p

f t F p ,

p dp збігається, то він служить

тоді, якщо невласний інтеграл

F

p

зображенням функції

f

t

:

t

f t

p dp .

F

(3.21)

t

p

П р и к л а д 3.10.

Використовуючи

теорему

про

інтегрування

зображення, знайти зображення наступної функції

f t

sin 4t sin10t

.

t

Р о з в ’ я за н н я .

Розглянемо функцію g t sin 4t sin10t :

sin 4t sin10t

1

cos 4t 10t cos 4t 10t

1

cos 6t

1

cos14t .

2