Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts

45

§9. Границ я і неп ерерв ніст ь фун кц ії компле ксно ї змі нно ї

Нехай функція комплексної змінної f z визначена в області

E , яка містить точку z0 .

Озна чен ня 9.1. Число 0 називається границею функції f z в

точці z0 , якщо для будь-якого 0 можна вказати таке 0 , що

може наближатися до z0 довільним способом, отже, фукція при будь-

Звідси випливає, що всі властивості границь для функцій двох дійсних змінних є справедливими й для функцій комплексної змінної.

Озна чен ня 9.2. Функція f z називається неперервною в

46

Також, як і в дійсному аналізі, позначимо z z z0 і назвемо цю величину прирістом аргументу. Тоді f z f z0 назвемо при-

рістом функції. Умова неперервності функції в цьому випадку може бути записана в наступному вигляді:

Аналогічно з функцією дійсного аргументу, нескінченно малою можна назвати величину, яка має своєю границею нуль. Отже, неперервність функції в точці є, якщо нескінченно малому прирісту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції.

О зн а ч е н н я 9.3. Функція f z , неперервна в кожній точці

області E , називається неперервною в цій області.

Всі теореми дійсного аналіза про неперервні функції є справедливими й в комплексной області. Сформулуємо їх.

E , приймає в ній свої максимальне і мінімальне за модулем значення.

47

§10. Похідна фу нкц ії к омплек сної зм ін ної . Умови Кош і - Ріма на

Функція в цьому випадку називається диференційовною в точці z0 . Якщо існує границя (10.2), то вона не залежить від способа на-

Дані відношення носять найменування умов Коші-Рімана. Справедливе й зворотне твердження.

48

Те о ре м а 10.2. Якщо в точці x0 , y0 функції u x, y і v x, y диференційовні, а їхні частинні похідні зв’язані відношеннями (10.3),

Для комплексного числа в тригонометричній формі:

яких f z не визначена), називаються особливими точками.

49

П р и к л а д 10.1. З’ясувати, чи є функція аналітичною f z zez .

Р о з в ’ я за н н я .

Знайдемо дійсну і уявну частини функції:

z x iy; z x iy ;

ez ex iy ex e iy ex cos y i sin y ex cos y i sin y ; f z x iy ex cos y i sin y xex cos y yex sin yi yex cos y xex sin y .

є диференційовними функціями змінних x і y .

u ex x cos y y sin y ex cos y ex x cos y y sin y cos y ,x

u ex x sin y sin y y cos y ,y

v ex y cos y x siny ex sin y ex y cos y x sin y sin y ,x

v ex cos y y sin y x cos y .y

Розглянемо умови Коші-Рімана (10.3) (Запишемо їх у вигляді системи рівнянь):

ex x cos y y sin y cos y ex cos y y sin y x cos y ,

ex x sin y sin y y cos y ex y cos y x sin y sin y ;

x cos y y sin y cos y cos y y sin y x cos y,

x sin y sin y y cos y y cos y x sin y sin y;

50

Система має розв’язком x y 0 . Таким чином, умови Коші-Рімана виконуються тільки в точці 0;0 . Отже, функція f z zez диферен-

ційовна тільки в точці 0;0 , але вона не є аналітичною в цій точці, тому що не є диференційовною в околі даної точки.

П р и к л а д 10.2. З’ясувати, чи є функція аналітичною f z z i cos z .

Р о з в ’ я за н н я .

z x iy ;

Таким чином, дійсна й уявна частини досліджуваної функції:

u x, y x cos x ch y y 1 sin x sh y,v x, y y 1 cos x ch y x sin x sh y.

Знайдемо частинні похідні отриманих функцій:

u cos x ch y x sin x ch y y 1 cos x sh y ,x

u x cos x sh y sin x sh y y 1 sin x ch y ,y

v y 1 sin x ch y sin x sh y x cos x sh y ,x

51

v cos x ch y y 1 cos x sh y x sin x ch y .y

Розглянемо умови Коші-Рімана (10.3):

cos x ch y xsin x ch y y 1 cos x sh y cos x sh y y 1 cos x sh y xsin x ch y,

x cos x sh y sin x sh y y 1 sin x ch y y 1 sin x ch y sin x sh y x cos x sh y.

Отже, умови Коші-Рімана виконуються в усій комплексній пло-

i y 1 sin x ch y i sin x sh y ix cos x sh y

cos x ch y i sin x sh y x sin x ch y i cos x sh y

y 1 cos x sh y i sin x ch y cos x ch y i sin x sh yy 1 cos x sh y i sin x ch y ix cos x sh y i sin x ch ycos x ch y isin x sh y i x i y 1 cos x sh y isin x ch y

cos z cos x ch y i sin x sh y cos z z i sin z . sin z sin x ch y i cos x sh y

За ува ж е н ня . Похідні аналітичних функцій f z обчислюють-

ся з допомогою тих самих правил і таблиці похідних, що й похідні функцій однієї дійсної змінної.

52

§11. Власт ивост і анал іт ичн их фун кці й

Означення похідної (10.2) дозволяє перенести на аналітичні функції комплексної змінної низку властивостей диференційовних функцій дійсною змінної.

чому f z 0 , то в області G значень функції f z визначено обер-

нену функцію z , яка є аналітичною функцією аргументу . При

цієї функції визначається з точністю до адитивної сталої.

Внаслідок умов Коші-Рімана (10.3), по заданій функції u x, y одно-

значно визначається повний диференціал невідомої функції v x, y :

dv vx dx yv dy uy dx ux dy .

53

§12. Гармоніч н і фун кц ії

Внаслідок умов Коші-Рімана (10.3) дійсна й уявна частини

Озна чен ня 12.1. Функції, які задовольняють рівняння Лапласа (12.1), називаються гармонічними.

Дві гармонічні функції, зв’язані умовами Коші-Рімана, називаються взаємно спряженими гармонічними функціями. Вони яляють собою дійсну й уявну частини деякої аналітичної функції. Завжди можна побудувати аналітичну функцію, для якої дана гармонічна функція є дійсною або уявною частиною.

П р и к л а д 12.1. Відновити аналітичну функцію f z u x, y iv x, y ,

Враховуючи умови Коші-Рімана (10.3):

u v ex cos y 2x 5 ;x y

u v ex sin y 2 y .y x

54