Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts

lim f (Z1 ) lim f (Z

2 ) .

n

n

n

n

Нехай

1

2

1

2

Zn

1

, Zn

1

.

(1 4n)

2 n n 1

n 1

Тоді:

f (Z1 ) cos

1

cos 2 n 1;

n

1

1

1

2 n

lim f (Z1 ) 1

;

n

n

f (Z 2 ) cos

1

cos( 2 n) 0 ;

n

2

2

1

1

(1 4n)

lim f (Z 2 ) 0 .

n

n

Оскільки для різних послідовностей Zn , які збігаються до оди-

ниці,

виходить різний результат,

то границі функції f (z) cos

1

z 1

при

z 1 не існує, а отже,

точка

z 0 – істотно особлива точка для

С

1

f (z)

dz .

2 i

(z z

)n 1

n

C

0

При n 1 маємо:

C

1

f (z)dz .

(19.1)

1

2 i

C

Озна чен ня 19.1.

Лишком аналітичної функції f (z)

в ізольова-

Res f (z) C 1 .

(19.3)

z z0

Res f (z) 0 .

(19.4)

z z0

f (z) C

1

(z z

0

) 1

C

0

C (z z

0

) ... .

(19.5)

1

lim f (z) (z z

0

) lim (C

1

C (z z

0

) C (z z

0

)2

... ,

z z0

z z0

0

0

Res f (z) lim f (z) (z z0 ) .

(19.6)

z z0

z z0

f (z) C

k

(z z

) k C

k 1

(z z

) k 1 C

1

(z z

) 1 C

0

... .

(19.7)

0

0

0

Помножимо (19.7) на

(z z

0

)k :

(z z )k f (z) C

C

(z z ) k 1

C

(z z )k 1

C (z z ) ... .

(19.8)

0

k

k 1

0

1

0

0

0

d k 1

(z z

)k

f (z)

(k 1)! C

k !C

(z z

) ... .

(19.9)

dzk 1

0

1

0

0

З виразу (19.9) лишка функції маємо:

Res f (z)

1

lim

d k 1

(z z

)k

f (z) .

(19.10)

0

z z0

(k 1)! z z0

dzk 1

П р и к л а д 19.1.

Знайти лишки в особливих точках наступної

функції

f (z)

sin z

.

z1 0,

z

2

z 0 z(z

3

3

) 0

z2

3

.

lim

sin z

lim

z

lim

1

3

.

)

z 0 z2

z

z 0 z(z

z 0 z

3

3

3

Res

sin z

0 .

z

z 0

z2

3

sin z

sin

z

lim

3

– полюс функції.

2 z

0

3

z 3

z

3

Визначимо порядок полюса:

sin z

sin z (z )k

lim

(z

)

k

lim

3

при k 1

2 z

)

3

z(z

z 3

z

z

3

3

3

sin

lim

sin z

3

3 3

z

– простий полюс.

z

2

3

z 3

3

Res

sin z

3 3

.

z2 z

z 3

2

3

П р и к л а д 19.2. Знайти

лишки

в

особливих точках наступної

1

{Z }

1

0 f (Z )

1

e2n ,

4

n

n

16n

2n n

n

{Z }

1

0 f (Z )

1

e 2n 0 .

4

n

n

16n

2n n

n

1

lim f (Z1 ) lim f (Z 2 )

lim z4e z

z 0 – істотно особлива

n

n

n

n

z 0

1

1

n

1

1

1

1

1

1

4

4

4

4

z

e z

z

z

z

1

n!

n

n!

z

z

2

n 0 z

n 0 z

2!

1

1

1

1

1

1

4

3

z2

z

1

1

1

...

z

z

...

z

3

3!

z

4

4!

z

5

2!

z

5!

5!

3!

4!

1

1

1

1

C

1

Res z4

e z

.

5!

z 0

5!

120

П р и к л а д 19.3.

Знайти лишки

в особливих

точках

наступної

функції

f (z)

e2 z 1

.

z5

z

4

Р о з в ’ я за н н я .

Особливими точками функції являются:

z5 z4 0 z4 z 1

z

0,

0

1

1.

z2

Додслідимо характер особливих точок:

lim

e2 z 1

0

lim

2z

lim

2

2

,

z5

z4

0

z

4

z

1

z3 z 1

0

z 0

z 0

z

0

z 0 – полюс функції.

lim

e2 z 1

z

k

lim

2z zk

lim

2 zk

при k 3

z5

z4

z4 z 1

z

3 z 1

z 0

z

0

z

0

lim

2

2 .

z 1

z 0

z 0 – полюс 3-го порядку.

Враховуючи формулу (19.10), маємо:

e2 z 1

1

d 2

e2 z 1

3

1

d 2

e2 z 1

Re s

lim

z

lim

z

5

z

4

3

dz

2

5

z

4

dz

2

2

z

z 0

1 ! z 0

z

2! z 0

z

e

1

1

2e

z

z

e

1

2z 1

2 z

2 z

2

2 z