Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts

t 2 і t 3 , відповідно:

2t 1 2 t 2 2 1 2 t 2 5 ,

(3.38)

2t 1 2 t 3 3 1 2 t 3 7 .

(3.39)

F p

2

e 2 p 5

1

e 2 p 2

1

e 3 p 7

1

e 3 p

2 5 p

e 2 p

2 7 p

e 3 p .

p2

p2

p

p

p2

p2

П р и к л а д 3.19.

За даним

графіком

оригінала

знайти зобра-

0 a

2a 3a 4a

t

при 0 t a

f1 t 1 ,

при a t 2a

f2 t 0 .

При 2a t 3a функцію зображено відрізком прямої, яка прохо-

дить через точки M1 2a;0

і

M2 3a;1 . Рівняння прямої, яка прохо-

дить через точки M1 і M2 , має вигляд:

t t1

f t f t1

.

(3.41)

t2 t1

f t2 f t1

В точках M1 і M2 , враховуючи (3.41), маємо:

t 2a

f t 0

;

3a 2a

1 0

t 2a

f t .

a

Отже, при 2a t 3a :

f3 t

1

t 2a .

a

При 3a t 4a функцію зображено відрізком прямої, яка прохо-

дить через точки M2 3a;1

і

M3 4a;0 . За формулою (3.41) складемо

рівняння прямої M 2 M3 :

t 3a

f t 1

,

4a 3a

0 1

t 3a

f t 1

,

a

1

Таким чином, при

3a t 4a

функція-оригінал має

вигляд:

f4

t 1

t 3a

4a t

.

a

a

При t 4a :

f5 t 0 .

Остаточно отримаємо аналітичні вирази для оригінала:

0,

t 0;

1,

0 t a;

0,

a t 2a;

f t

1

t 2a , 2a t 3a;

a

4a t

, 3a t 4a;

a

0,

t 4a.

Запишемо оригінал

f t

одним аналітичним виразом за зразком

(3.36):

f t t t a

t 2a

t 2a

t 2a

t 3a

a

a

4a t

t 3a

4a t

t 4a .

(3.42)

a

a

За теоремою запізнення (3.27) функція Хевісайда t

є множ-

F p

1

1

e ap

e 2ap

2e 3ap

e 4ap

.

ap2

ap2

p

p

ap2

9°. Теорема множення (теорема про згортку ) .

Згорт-

кою двох оригіналів

f1 t і

f2 t , яка позначається f1 t f2

t , нази-

t

f2 t d :

вається інтеграл f1

0

t

f1 t f2 t f1

f2

t d .

(3.44)

0

t

t

f1

f2 t d f1 t f2

d .

(3.45)

0

0

Тео рема 3.10.

Нехай оригінали f1 t

і f2

t

мають зображен-

ня F1 p і

F2 p ,

відповідно: f1 t F1 p

і

f2 t F2 p .

П р и к л а д 3.20. Знайти згортку двох оригіналів f

t t2

і

1

f2 t e2t та її зображення.

Знайти згортку двох оригіналів

f t

t2

і f

2

t e2t

та її зобра-

1

ження.

Скористаємося

означення

м згортки (3.44):

t

t 2 e2t

t 2 e2 d

0

udv uv vdu формула інтегрування частинами

u t 2 du 2 t d

dv e2 d v e2 d

1

e2

2

t 2

t

1

t

u t du d

2

1

2

e2

2

t

e2 d

dv e d v

2

2

0

e

0

2

t

t e2

0

1 e2 d t

t

1 1 e2

0

t

t

2

t

t

2

t

2

2

2

2

0

2

2

2

2

2

2

1

e

2t

1

1

e

2t

1

2t

2

2t 1 .

4

4

4

4

Р о з в ’ я за н н я .

Оригінал,

з

означення

(3.44), є згорткою двох оригіналів

f

t cos t і

f

2

t e2t .

1

Оскільки

f

t cos t

p

;

f

t e2t

1

,

p2 1

p 2

1

2

cos t e2t

p

1

.

p2 1

p 2

t

p

cos t e2 d

.

p

2

0

1

p 1

f t

1

s i

F p e pt dp .

(4.1)

2 i

s i

k

an

ня F p

може бути подано у вигляді суми

F p

, де

an

p

n 1

n 0

n

0, k

– деякі сталі, то відповідний цьому зображенню оригінал має

вигляд:

f t

an

t n .

(4.2)

n 0 n!

F p

4 p 5

.

p 2 p2 4 p 5

4 p 5

A

Bp C

p 2 p2 4 p 5

p 2

p2 4 p 5

A p2 4 p 5 Bp C p 2

,

p 2 p2 4 p 5

4 p 5 A p2 4 p 5 Bp C p 2 ,

p 2 8 5 A 4 8 5 17 A 13 A

13

.

17

p2

A B 0,

p0

5A 2C 5.

B A B

13

,

17

5A 5

5

13

5

4

10

C

C

1

.

2

2

17

2

17

17

Знаходячи коефіцієнти A ,

B і C , отримаємо:

F p

13

1

1

13 p 10

.

2

17 p

17

p2 4 p 5

Для дробу

1

маємо оригінал e2t :

p

2

1

e2t .

p

2

Перетворимо другий дріб:

13 p 10

13 p 2 2 10

13 p 2 13 2 10

p2 4 p

5

p 2 2 1

p 2 2 1

13 p 2 16

13

p 2

16

1

.

p 2 2 1

p

2 2

p 2 2 1

1

Оскільки

p

1

cos t ;

sin t ,

p2 1

p2 1

то за теоремою зсунення (3.24) маємо:

p 2

e 2t cos t ;

1

e 2t

sin t .

p 2 2 1

p 2 2

1

Використовуючи властивість лінійності, знайдемо оригінали для

кожного з доданків:

13

1

13

p 2

16

1

13

e2t

17 p 2 2

17 p 2

17 p 2 2

1

1

17

13

e 2t cos t

16

e 2t sin t .

17

17

F p

p

.

p2

2

1

p

1

p

.

2

2

2

p

1

p

1

p

2

1

1

sin t ;

p

cos t ,

p2 1

p2 1

1

p

sin t cos t .

p2 1

p2 1

2 t 2

t