Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts

du u dx

u dy ex cos y 2x 5 dx ex sin y 2 y dy .

x

y

З цього виразу випливає, що

u x, y

x; y

ex cos y 2x 5 dx ex sin y 2 y dy C .

x0 ; y0

u x, y

x; y0

ex cos y 2x 5 dx ex sin y 2 y dy

x0 ; y0

x; y

ex cos y 2x 5 dx ex sin y 2 y dy C

x; y0

x

0

y

ex cos y

ex sin y

2x

5

dx

2 y dy C

x0

y0

ex cos y0 x2 5x

x ex cos y y2

y C

x

y

0

0

ex cos y

ex0 cos y

x2 x2

5x 5x

ex cos y ex cos y

0

0

0

0

0

y2 y2

C ex cos y x2

5x y2 C .

0

1

Тоді:

f z ex cos y x2

5x y2

C1 i ex sin y 2xy 5y

Нехай однозначна функція

f z u x, y iv x, y

є неперервною

в області E комплексної площини z ,

і C – довільна крива яка по-

вністю належить області E (рис. 13.1).

Im z

zk 1

b

zn

z1

…

zk

0

Re z

Рисунок 13.1

Розіб’ємо криву C довільним способом на n

ділянок точками

z0 0; z1; z2 ;...; zk 1; zk ;...; zn

b , розташованими на кривій C в порядку

зростання параметра k . Виберемо на кожній дузі zk 1 zk

довільну точку

k

k i k , і через zk позначимо:

zk zk zk 1 .

Побудуємо інтегральну суму In f z ;C; k для функції

f z ,

яка відповідає розбиттю C і вибору точок k :

n

In f z ;C; k f k zk .

(13.1)

та від вибору точок k kn

1 , то вона називається інтегралом від функції

f z вздовж кривої C і позначається f z dz :

C

n

f z dz .

lim

f

k

zk

(13.2)

n k 0

C

В зроблених раніше припущеннях границя (13.2) повинна існува-

ти, тому що зводиться до границь

неперервних

функцій

u x, y і

v x, y ( u x, y Re f z ; v x, y Im f z ),

які

задані на

кусково-

гладкій кривій C , тобто до криволінійного інтеграла по координатах.

Дійсно:

n

f k u k ;k iv k ;k

lim f k zk

k k

i k ; zk xk i yk

n k 0

n

u

iv

x

lim

k

;

k

k

;

k

i y

k

k

n k 1

n

u

x

v

lim

k

;

k

k

;

k

y

k

k

n k 1

n

u

y

x

i lim

k

;

k

k

v

k

;

k

.

k

n k 1

Звідси випливає, що

f z dz u x, y dx v x, y dy i u x, y dy v x, y dx .

(13.3)

C

C

C

З отриманого результата видно, що для існування інтеграла від

функції комплексної змінної

f z u x, y iv x, y достатньо лише

неперервності функцій

u x, y

і

v x, y . Отже,

інтеграл існує і в

випадку неаналітичної функції

f z , якщо вона також є неперервною.

AB

BA

2°. f z dz f z dz

f z dz ;

C1

C2

C1 C2

3°. Якщо a – комплексна змінна, то

af z dz a f z dz ;

C

1

2

C

1

f

dz

2

4°.

f

z

z

dz

f

z

f

z

dz .

C

C

C

П р и к л а д 13.1.

Обчислити інтеграл

z Im z2 dz , де C – відрізок

C

x iy 2

x2 2xyi y2

f z x iy Im x2 y2 2xyi

x iy 2xy 2x2 y i 2xy2 ;

u x, y 2xy2 ,

v x, y 2x2 y.

Тоді за формулою (13.3) маємо:

z Im z2 dz 2xy2 dx 2x2 y dy i 2xy2dy 2x2 y dx

C

C

C

z1 0 A 0;0 ;

z2 1 i B 1;1

AB :

x 0

y 0

y x

x : 0 1

1 0

dy dx

1 0

1

1

2x3 dx 2x3 dx i 2x3 dx 2x3 dx

0

0

1

1

x

4

1

0 i 4x3dx 4i x3dx 4i

i 1 0 i .

0

0

4

0

z1 i M1 0;1

M M

:

x 0

y 1

x

y 1

z2 2 i M 2 2; 1

2 0

1 1

2

1

2

2

u x, y x 4 3 3y2 x 4

z 4 3 dz

v x, y y3 3 x 4 2 y

C

C : y x 1 dy dx

x : 0 2

x 4 3

3y2 x 4 dx y3 3 x 4 2

y dy

C

i x 4 3

3y2 x 4 dy y3 3 x 4 2

y dx

C

0

2

i x 4

3

3

1 x

2

x

4

1 x

3

3 x

4

2

1 x dx

0

2

x3 12x2 48x 64 3 1 2x x2 x 4 1 3x 3x2 x3

0

2

3 x2 8x 16 1 x dx i x3 12x2 48x 64

0

x2

x 4 1 3x 3x2 x3 3

x2 8x 16

1 x

3 1 2x

dx

2

9x2 45x 63 3x 6x2 3x3 12 24x 12x2 3x2 24x

0

2

48 3x3 24x2 48x dx i 2x3 15x2 51x 65 3x 6x2

0

3x3 12 24x 12x2 3x2

24x 48 3x3 24x 48x dx

2

2

18x2 90x 99 dx i

4x3

30x2 48x 5 dx

0

0

2

2

18x3

90x2

4x4

30x3

48x2

99x

i

5x

3

2

4

3

2

0

0

П ри к л а д 13.3.

Обчислити інтеграл

dz

.

z z

0

z z0

R

Р о з в ’ я за н н я .

z z

0

Rei

dz

z z0

Rei

2 Riei d

2

2

i d i

2 i .

z z0

dz Riei d

Re

i

0

z z0

R

0

0

: 0 2

П р и к л а д 13.4.

Обчислити

інтеграл

z zdz ,

де

C – крива

Р о з в ’ я за н н я .

z

1 ;

x2 y2 1 ;

1.

Re z 0 ;

x 0 ;

3

2 .

2

Im z 0 ;

y 0 .

0

1

x

z ei

ei ; z e i

2

z zdz

dz ie

i

d ; :

3

2

ei e i iei d

C

2

3

2

2

2

3

i

cos 2 i sin 2

i ei d ei

3

e2 i e 2

3

2

2

3

3

cos

i sin

1 i

1 i .

2

2

Якщо функція

f z є аналітичною в однозв’язній області

E , яка

містить точки z1

і z2 , то має місце формула Ньютона-Лейбніца:

z2

f z dz F z

zz2

F z2 F z1 .

(13.4)

z1

1

де F z

– будь-яка первісна для функції

f z , тобто F z f z

в

області E .

П р и к л а д 13.5.

Обчислити

інтеграл (cos i z 3z2 )dz ,

де

:

0

1

x

z) cos iz 3z2

– аналітична функція.

1

1

1

(cos iz 3z2 )dz

(cos iz 3z2 )dz

cos iz dz 3

z2 dz

1

1

1

1

sin iz

1

z3

1

1

(sin( i) sini) ( 1)3 13

2

sin i 2

i

1

1

i

i

2

ei2

e i2

2 e 1 e1

2 2

e1 e 1

2 2 sh1 2 .

i

2i

2

П р и к л а д 13.6.

Обчислити інтеграл

ln z

dz ,

– відрізок пря-

z

мої: z1 1; z2

i .

Р о з в ’ я за н н я .

f (z)

ln z

функція аналітична на відрізку прямої .

z

i

(lnz)

1

i

ln2 z

ln z

ln z

z

i

dz

dz

lnz d (ln z)

z

z

d (ln z)

dz

2

1

1

z

1

2

ln

2

i

ln

2

1

ln i ln1 i

i

2

i

2

2

2

.

2

2

2

8

ln1 ln1 i 0 0