4.1.2. Задачі

4.11. Густину імовірності системи двох випадкових величин (X,Y) задано виразом

де a - стала величина. Потрібно:

1)знайти a;

2)написати вирази для густин імовірності випадкових величин Х і У;

3)знайти математичне сподівання і дисперсії випадкових величин Х і У;

4)встановити, чи є випадкові величини Х і У незалежними.

4.12. Система двох випадкових величин (X,Y) має густину розподілу імовірностей

Знайти радіус кола з центром на початку координат, імовірність попадання в який дорівнює .

4.13. Незалежні випадкові величини X і Y підпорядковуються законам

рівномірної густини розподілу відповідно в інтервалах і . Визначити густину імовірності і функцію розподілу системи (X,Y).

4.14. Система двох випадкових величин (X,Y) має густину імовірності

Знайти:

1)функцію розподілу системи;

2)коефіцієнт кореляції.

4.15. Підсумовуванням трьох випадкових величин X, Y, Z, що мають нульові математичні сподівання й одиничні дисперсії, одержують випадкову величину W=X+Y+Z. Випадкові величини X і Y не корельовані, а коефіцієнти кореляції пар випадкових величин (X,Z) і (Y,Z) дорівнюють відповідно і . Визначити:

1) дисперсію випадкової величини W;

2) коефіцієнт кореляції випадкових величин W і X; 3) коефіцієнт кореляції випадкової величини W і суми випадкових величин Y і Z.

4.16. Система трьох випадкових величин (X,Y,Z) рівномірно розподілена усередині сфери радіуса з центром на початку координат. Визначити:

1) густину імовірності системи випадкових величин (X,Y,Z);

2) умовну густину імовірності

3) густину імовірності випадкової величини Х.

4.17. Дано математичне сподівання двох нормальних випадкових величин M[X]= , M[Y]= і їхню кореляційну матрицю

Визначити густину імовірності системи двох випадкових величин (X,Y).

4.18. Дано густину імовірності системи двох випадкових величин (X,Y)

Визначити:

1)коефіцієнт k;

2)кореляційну матрицю.

4.19. Визначити в точці х₁ = , х₂ = густину імовірності системи двох нормальних випадкових величин, для яких і кореляційна матриця має вигляд

4.20. Густину імовірності системи двох випадкових величин (X,Y) задано виразом

Визначити коефіцієнт кореляції величин X і Y.

4.21. Нормальний закон розподілу на площині заданий математичними сподіваннями і кореляційною матрицею

Визначити геометричне місце точок, у яких густина імовірності дорівнює

4.22. Дано кореляційну матрицю системи трьох нормальних випадкових величин (X,Y,Z)

Математичні сподівання цих випадкових величин . Знайти густину імовірності системи трьох випадкових величин і її максимальне значення.

4.23. Система трьох випадкових величин (X,Y,Z) розподілена із сталою густиною усередині кулі радіуса R=2. Визначити імовірність попадання випадкової точки (X,Y,Z) усередині кулі, концентричної даній, з радіусом R=1.

4.24. Дано кореляційну матрицю системи чотирьох нормальних випадкових величин (Х₁,Х₂,Х₃,Х₄)

Визначити густину імовірності системи чотирьох випадкових величин, якщо математичні сподівання цих величин