- •2.3.1 Приклади розв’язання задач ………………………………………… ……16
- •4.1.1 Приклади розв’язання задач ……………………………………… …… …57
- •1. Мета та завдання навчальної дисципліни
- •2.5 Рейтингове оцінювання успішності студентів
- •3. Начально-методичні матеріали
- •1. Загальні вказівки
- •2. Випадкові події
- •2.1 Приклади розв’язання задач
- •2. 2. Задачі
- •2.3.1 Приклади розв’язання задач
- •2.3.2 Задачі
- •3. Випадкові величини
- •3.1 Дискретні випадкові величини
- •3.1.1 Приклади розв’язання задач
- •3.1.2. Задачі
- •3.2. Безперервні випадкові величини
- •3.2.1. Приклади розв’язання задач
- •3.2.2. Задачі
- •3.3. Функція випадкової величини. Характеристичні функції
- •3.3.2 Задачі
- •4. Система випадкових величин
- •4.1.1. Приклади розв’язання задач
- •4.1.2. Задачі
- •4.2. Функціональне перетворення системи випадкових величин.
- •4.2.1 Приклади розв’язання задач
- •Розв’язок. Густина імовірності випадкової крапки (X,y,z) має вигляд
- •4.2.2 Задачі
- •5. Випадкові процеси
- •5.1. Приклади розв’язання задач
- •5.2 Задачі.
Розв’язок. Густина імовірності випадкової крапки (X,y,z) має вигляд
Три координати прямокутної системи координат у просторі (X,Y,Z) зв'язані зі сферичними координатами співвідношеннями:
Якобіан перетворення від змінних x, y, z до змінних
Таким чином, густина імовірності в новій системі матиме вигляд
Значення випадкової величини розподілені на інтервалі , а випадкової величини θ - на інтервалі (0;π), тому шукана одновимірна густина імовірності
4.27. Знайти густину ймовірності двох незалежних випадкових величин (композицію законів) Z=X+Y, якщо Х – рівномірно розподілена у інтервалі [0;1], а випадкова величина Y має експоненційний розподіл
Розв’язок. Функції і не дорівнюють нулю тільки в окремих інтервалах. Графіки цих функцій мають вигляд (рис.3.13,3.14):
Рисунок 3.13 Рисунок 3.14
Тому спочатку зручно знайти функцію розподілу випадкової величини Z, а потім шляхом диференціювання цієї функції знайти густину імовірності величини Z.
За визначенням маємо
, де Dz – область, в середині якої x+y<z і жодна з функцій , не дорівнює нулю (рис.3.15.)
Рисунок 3.15
На малюнку видно, що вигляд області інтегрування буде різним залежно від того, в якому з двох інтервалів (0;1) або (1; ) ,буде знаходитись значення Z. Проводячи розрахунки інтегралів для цих випадків, одержуємо
Взявши похідну від функції , маємо густину імовірності випадкової величини Z:
4.28. Два резистора з’єднані послідовно. Відомо, що опори резисторів є незалежними випадковими величинами X і Y, які рівномірно розподілені на інтервалі [R1,R2]. Знайти густину імовірності загального опору.
Розв’язок. Випадкова величина Z=X+Y. Через те, що густини ймовірностей і відповідно випадкових величин X та Y відрізняються від нуля тільки в окремих інтервалах, то, як і раніше, будемо знаходити функцію розподілу випадкової величини Z:
де
А Dz – область, яка зображена нижче (рис.3.16).
Рисунок 3.16
Розглянемо чотири інтервали, в яких змінюється величина Z: Тоді функція розподілу
Отже, густина імовірності випадкової величини Z
Графік густини імовірності випадкової величини Z має вигляд (рис.3.17)
Рисунок 3.17
4.29 Незалежні випадкові величини Х і У мають нормальний закон розподілу відповідно з параметрами , і , . Знайти густину імовірності випадкової величини Z=X+Y.
Розв’язок. Густини ймовірностей і випадкових величин X i Y не приймають нульові значення в жодній точці числової осі, тому для знаходження композиції законів застосовуємо апарат характеристичних функцій. Спочатку знайдемо характеристичну функцію нормованої нормально розподіленої випадкової величини , густина імовірності якої
.
Відповідно до визначення характеристичної функції
через те, що інтеграл Пуассона
.
Зробимо лінійне перетворення
.
Воно переводить нормовану нормальну величину у нормальну величину , параметри якої
.
Знайдемо характеристичну функції випадкової величини :
Поміняв на , маємо і для випадкової величини характеристичну функцію
Через те, що характеристична функція суми незалежних випадкових величин дорівнює добуткові характеристичних функцій, то
,
де , . Звідси бачимо, що - нормально розподілена випадкова величина з параметрами .