- •2.3.1 Приклади розв’язання задач ………………………………………… ……16
- •4.1.1 Приклади розв’язання задач ……………………………………… …… …57
- •1. Мета та завдання навчальної дисципліни
- •2.5 Рейтингове оцінювання успішності студентів
- •3. Начально-методичні матеріали
- •1. Загальні вказівки
- •2. Випадкові події
- •2.1 Приклади розв’язання задач
- •2. 2. Задачі
- •2.3.1 Приклади розв’язання задач
- •2.3.2 Задачі
- •3. Випадкові величини
- •3.1 Дискретні випадкові величини
- •3.1.1 Приклади розв’язання задач
- •3.1.2. Задачі
- •3.2. Безперервні випадкові величини
- •3.2.1. Приклади розв’язання задач
- •3.2.2. Задачі
- •3.3. Функція випадкової величини. Характеристичні функції
- •3.3.2 Задачі
- •4. Система випадкових величин
- •4.1.1. Приклади розв’язання задач
- •4.1.2. Задачі
- •4.2. Функціональне перетворення системи випадкових величин.
- •4.2.1 Приклади розв’язання задач
- •Розв’язок. Густина імовірності випадкової крапки (X,y,z) має вигляд
- •4.2.2 Задачі
- •5. Випадкові процеси
- •5.1. Приклади розв’язання задач
- •5.2 Задачі.
2.3.1 Приклади розв’язання задач
2.21 На склад надходять електричні лампочки від трьох заводів. Від першого – 30 % від загальної кількості що надійшли, від другого – 25 %, від третього – 45 %. На першому заводі брак складає 1 % від загальної продукції, на другому – 1,2 %, а на третьому – 2 %. Визначити імовірність того, що випадково обрана лампочка на складі виявиться справною.
Розв’язок. Нехай подія А – випадково обрана електрична лампочка є стандартною (справної). Висунемо три гіпотези:
B1 – обрана лампочка надійшла з 1-го заводу, значить
B2 – обрана лампочка надійшла з другого заводу, отже,
B3 - обрана лампочка надійшла з 3-го заводу, тому
Події В1, B2, B3 утворять повну групу несумісних подій.
Умовна подія полягає в тому, що обрана лампочка надійшла з i-го заводу і є стандартною. Тоді, використовуючи умови задачі,
По формулі повної імовірності маємо
2.22 На спостережливій станції встановлені чотири локатори різних конструкцій. Імовірність виявлення цілі за допомогою першого локатора дорівнює 0,86, другого – 0,9, третього – 0,92, четвертого – 0,95. Спостерігач навмання включає один з локаторів. Знайти імовірність виявлення цілі.
Розв’язок. Висунемо чотири гіпотези: В1 – був включений перший локатор, В2 – другий, В3 – третій, В4 – четвертий. Ці гіпотези утворять повну групу несумісних подій і тому що можливість включення кожного з чотирьох локаторів однакова.
Нехай подія А – ціль виявлена. Тоді подія ціль виявлена i-им локатором і за умовою:
Використовуючи формулу повної імовірності, знаходимо
2.23 Мається вертушка, на якій закріплене шість коробок. У кожній з них утримується набір резисторів (див. таблицю). Резистор, витягнутий випадковим образом з якоїсь коробки, виявився 10-омным. Яка імовірність того, що він був узятий з коробки з номером 6?
Таблиця
Номінальне опір резисторів |
Набори резисторів у коробках з номерами |
Усього резисторів даного номіналу |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
10 Ом |
500 |
0 |
200 |
800 |
1200 |
1000 |
3700 |
100 Ом |
300 |
400 |
600 |
200 |
800 |
0 |
2300 |
1000 Ом |
200 |
600 |
200 |
600 |
0 |
1000 |
2600 |
В С Ь О Г О |
1000 |
1000 |
1000 |
1600 |
2000 |
2000 |
8600 |
Розв’язок. Нехай подія А полягає в тому, що витягнутий випадковим образом резистор виявився 10-Омным. Можна висунути шість гіпотез: Подія (гіпотеза) полягає в тому, що резистор довільного номіналу був витягнутий з коробки з номером Тому що резистор міг бути витягнутий з кожної із шести коробок, то .
Події утворять повну групу несумісних подій.
Введемо умовну подію 10-Омный резистор витягнутий з коробки з номером Тоді, відповідно до приведеної таблиці, маємо:
Шукана імовірність - Для її знаходження скористаємося формулою Байеса
2.24 Кодування повідомлень у цифровій системі зв'язку здійснюється шляхом перетворення їх у послідовність символів 0 і 1. Вплив зовнішніх завад і власного шуму приводить до того, що час від часу при прийомі виникають збої. Відомо, що імовірність прийому 1 при передачі 0 дорівнює 0,08, а імовірність прийому 0 при передачі 1 дорівнює 0,05. Відомо також, що в середньому при передачі повідомлень 0 і 1 складають співвідношення 2:3. Визначити імовірність того, що переданий 0 буде прийнятий правильно.
Розв’язок. Можна висунути тільки дві гіпотези: В0 – був переданий 0, В1 – була передана 1. Вони утворять повну групу несумісних подій. А тому що при передачі повідомлень 0 і 1 складають співвідношення 2:3, то і
Нехай подія А0 – прийнятий 0, а А1 – прийнята 1. Тоді, виходячи з умови задачі, можна записати наступні умовні імовірності: імовірність прийому 0 при передачі 0 і імовірність прийому 0 при передачі 1. Подія – переданий 0 прийнято правильно. Для знаходження імовірності цієї події скористаємося формулою Байеса:
2.25 За даними технічного контролю в середньому 2 % виготовлених на заводі телевізорів мають потребу в додатковому регулюванні. Чому дорівнює імовірність того, що із шести зроблених телевізорів чотири мають потребу в додатковому регулюванні?
Розв’язок. Нехай подія А полягає в тім, що довільно узятий телевізор має потребу в регулюванні. За умовою задачі . Перевірку шести телевізорів можна розглядати як шість випробувань Бернуллі, тому що це повторні незалежні випробування, у кожнім з яких може з'явитися тільки дві події: А – телевізор має потребу в регулюванні і телевізор не має потреби в регулюванні. Імовірність того, що із шести довільно узятих телевізорів чотири мають потребу в додатковому регулюванні, обчислюємо за допомогою формули Бернуллі з :
2.26 Протягом часу Т експлуатується N приладів. Кожний з них має надійність p і виходить з ладу незалежно від інших. Знайти імовірність того, що майстер, викликаний по витіканню часу Т для ремонту несправних приладів, не справиться зі своєю задачею за час t, якщо на ремонт кожного з несправних приладів йому потрібен час t0.
Розв’язок. Нехай ціла частина відносини Майстер не справиться зі своєю задачею, якщо m = n0 + 1 або або m = N, де m - число несправних приладів із усієї сукупності приладів. Перевірку N приладів можна розглядати як N іспитів Бернуллі з імовірністю події А – прилад несправний – рівної Імовірність того, що з N приладів вийшли з ладу m за час експлуатації Т знаходимо по формулі Бернуллі:
Подія В – майстер не справився зі своєю задачею за час t – рівнозначно тому, що m дорівнює або N. Тому
2.27 Телефонний зв'язок з 12 абонентами, що знаходяться у вилученому населеному пункті, забезпечується бездротовим зв'язком за допомогою багатоканальної НВЧ-лініі. Кожний з абонентів користується цією лінією протягом 20 % часу пікового навантаження. Скільки каналів потрібно мати, щоб у піковий період лінія була доступна всім абонентам протягом 90 % часу.
Розв’язок. Тому що абонент у піковий період використовує лінію протягом 20 % часу, то імовірність того, що йому буде потрібно в цей період лінія, дорівнює p = 0,2. Природно вважати, що виклики абонентів незалежні. Імовірність того, що лінія буде потрібно одночасно рівно абонентам, у піковий період може бути знайдена за допомогою формули Бернуллі, тому що послідовні іспити полягають у перевірці – пішов або не пішов виклик від кожного з 12 абонентів – з імовірністю виклику p = 0,2. Імовірність того, що лінія буде потрібно одночасно не більш m абонентам, дорівнює
де p = 0,2.
Будемо послідовно обчислювати ці імовірності для m, починаючи з одиниці:
Звідси видно, що з імовірністю 0,927 (92,7 % часу) лінія зв'язку буде потрібно не більш 4 абонентам. Виходить, досить мати 4 канали.
2.28 У лінії зв'язку при передачі повідомлення імовірність похибки одного знака дорівнює 0,01. Знайти імовірність того, що в повідомленні з 1000 знаків утримується не більш трьох похибок.
Розв’язок. Нехай подія А – у повідомленні 1000 знаків утримується не більш трьох похибок. Цю подію можна представити як суму чотирьох несумісних подій:
де подія полягає в тому, що при передачі 1000 знаків у повідомленні маємо k похибок
Перевірку 1000 знаків на наявність похибок можна розглядати як 1000 іспитів Бернуллі з імовірністю появи події (похибки знака) p = 0,01. Тому
Тому що n=1000>>1, p=0,01<<1 і то імовірність в останній формулі можна обчислювати по формулі Пуассона з :
У кінцевому результаті одержуємо
2.30 Виготовлювач радіоелектронного устаткування закуповує 1000 інтегральних схем, кожна з яких з імовірністю 0,2 може виявитися несправною. Визначити імовірність того, що кількість несправних мікросхем буде не менше 200, але не більш 220 штук.
Розв’язок. Імовірність того, що рівно k бракованих мікросхем знаходиться в партії з 1000 штук мікросхем, знаходимо по формулі Бернуллі:
де p = 0,2, а q= 0,8. Тому що число бракованих мікросхем повинне знаходитися між 200 і 220 штуками, то шукана імовірність
З огляду на те, що k≥200>>1 і npq=160>>1, при обчисленні шуканої імовірності скористаємося інтегральною формулою Муавра-Лапласа:
Тут використовувалися табличні значення функції