- •2.3.1 Приклади розв’язання задач ………………………………………… ……16
- •4.1.1 Приклади розв’язання задач ……………………………………… …… …57
- •1. Мета та завдання навчальної дисципліни
- •2.5 Рейтингове оцінювання успішності студентів
- •3. Начально-методичні матеріали
- •1. Загальні вказівки
- •2. Випадкові події
- •2.1 Приклади розв’язання задач
- •2. 2. Задачі
- •2.3.1 Приклади розв’язання задач
- •2.3.2 Задачі
- •3. Випадкові величини
- •3.1 Дискретні випадкові величини
- •3.1.1 Приклади розв’язання задач
- •3.1.2. Задачі
- •3.2. Безперервні випадкові величини
- •3.2.1. Приклади розв’язання задач
- •3.2.2. Задачі
- •3.3. Функція випадкової величини. Характеристичні функції
- •3.3.2 Задачі
- •4. Система випадкових величин
- •4.1.1. Приклади розв’язання задач
- •4.1.2. Задачі
- •4.2. Функціональне перетворення системи випадкових величин.
- •4.2.1 Приклади розв’язання задач
- •Розв’язок. Густина імовірності випадкової крапки (X,y,z) має вигляд
- •4.2.2 Задачі
- •5. Випадкові процеси
- •5.1. Приклади розв’язання задач
- •5.2 Задачі.
4.2. Функціональне перетворення системи випадкових величин.
Нехай система двох випадкових величин (Y1,Y2) - результат функціонального перетворення системи (Х1,Х2) з густиною розподілу заданого функціями
здійснюючого взаємно однозначне відображення. У цьому випадку густина розподілу системи випадкових величин (Y1,Y2) обчислюється за формулою
де - якобіан перетворення системи випадкових величин (Х1,Х2) у систему випадкових величин (Y1,Y2):
а і - функції, обернені стосовно функцій і .
У загальному випадку, якщо відомо взаємно однозначне відображення
системи n випадкових величин з густиною розподілу в систему то густина розподілу останньої дорівнює
де
- якобіан перетворення.
Для функції декількох випадкових величин
із заданою густиною розподілу системи задачу визначення густини розподілу випадкової величини Y можна спочатку звести до задачі знаходження густини розподілу системи випадкових величин , отриманих за допомогою перетворення:
а потім, користуючись властивістю густини розподілу системи, знайти густину розподілу випадкової величини Y:
Так, у випадку двох змінних:
з густиною розподілу системи , маємо
Звідси густина розподілу суми двох випадкових величин (КОМПОЗИЦІЯ ЗАКОНІВ)
виражається будь-якою з формул
Зокрема, коли випадкові величини - незалежні (fx(x1,x2)= f1(x1)f2(x2), f1(x1) та f2(x2)- густини розподілу Х1 і Х2), то
або
Нехай Y(t)- випадкова функція часу, що складається з корисного сигналу X(t) та адитивного шуму N(t). При фіксованому моменті часу t значення Y= Y(t) цієї функції являє собою випадкову величину, рівну сумі двох інших
Y=X+N.
Умовну густину розподілу випадкової величини Х за умови, що випадкова величина Y прийняла значення y, знаходимо за формулою Байєса
Тут і - густини розподілу випадкових величин X і Y.
Якщо значення х випадкової величини Х задано, то випадковий характер Y визначається тільки шумовою складовою N. А через те що N = Y-X, то де - густина розподілу шуму N. Вважаючи випадкові величини Х та N незалежними, маємо
При спостережуваному значенні сигналу те значення х, для якого функція приймає максимальне значення, називається правдоподібною оцінкою значення, що приймається випадковою величиною Х при спостережуваному значенні випадкової величини Y.
4.2.1 Приклади розв’язання задач
4.25. Система двох незалежних випадкових величин X і Y, розподілених за нормальним законом з параметрами mx=my=0 і визначає випадкову точку на площині прямокутної системи координат.
Знайти густину розподілу положення точки в полярних координатах і .
Розв’язок. Прямокутні координати зв'язані з полярними за допомогою перетворення
якобіан якого
Через те що шуканий розподіл знаходиться за формулою
де густина розподілу випадкової точки (X,Y)
то
Випадкові величини і незалежні, тому що
де
- закон Релея і
- закон рівномірного розподілу.
4.26. Три незалежні випадкові величини X, Y і Z, що мають однакові нормальні густини імовірності з параметрами mx=my=mz=0 і визначають випадкову точку в просторі прямокутної системи координат.
Визначити одновимірну густину імовірності f(r) випадкової величини R, що представляє собою довжину радіус-вектора в сферичній системі координат.