2.1 Приклади розв’язання задач

2.1 Кидають дві гральних кості. Подія - випадання однакових цифр. Подія - сума очок, що випали, кратна п'яти. Записати через елементарні події , , , .

Розв’язок. З чого потрібно починати? Насамперед потрібно зрозуміти суть елементарної події. Елементарна подія полягає в тому, що при киданні двох гральних кісток на одній з них випадає одна цифра, а на другій – інша. Отже . Тут означає елементарну подію, що складається в тому, що на першій кості випала цифра , а на другій – . Тоді

, ,

.

2.2 Схема фрагмента електричного кола, через який проходить струм, представлена на рисунку.

Кожен з елементів кола рівнозначно може бути справним чи несправним. Записати простір елементарних подій , а також подію через елементарні події, якщо подія означає наявність струму в колі.

Розв’язок. Елементарна подія полягає в тому, що обидва елемента кола знаходяться в якомусь стані. Наприклад, перший елемент справний, а другий – ні і т.д. Позначимо через елементарну подію, яка полягає в тому, що елемент справний, а елемент - вийшов з ладу; - вийшов з ладу елемент , а - справний; - обидва елемента справні; - обидва елемента несправні. Тоді

,

.

2.3 Схема фрагмента електричного кола, у якому проходить струм, представлена на рисунку.

Ключ включений – подія , - подія , - подія . Записати простір елементарних подій. Події , , записати через елементарні події; а події і - через , , , якщо подія означає розрив кола.

Розв’язок. Елементарна подія полягає в тому, що в представленій комутуючій схемі кожен з трьох ключів або включений, або виключений. У першому випадку припишемо ключу , а в другому - . Тоді елементарна подія означає, що ключ включений, а ключі і виключені. Отже

,

,

,

,

.

2.4 Є фрагмент електричного кола з чотирма ключами. Кожен ключ рівнозначно може бути включений або виключений. Знайти імовірність того, що розриву кола не буде.

Розв’язок. Припишемо, як і в задачі 2.3, кожному ключу , якщо він включений, і , якщо ключ виключений. Елементарна подія полягає в описі роботи всіх чотирьох ключів у комутуючій схемі. Так, наприклад, елементарна подія означає, що в схемі ключі , включені, а ключі , виключені. У загальному випадку елементарну подію можна позначити , де символ дорівнює або ( -й ключ включений), або ( -й ключ виключений).

Обчислимо кількість всіх елементарних подій. Якби в схемі був один ключ, то елементарних подій було б . При двох ключах число всіляких елементарних подій дорівнює , тому що в елементарній події кожен символ приймає два значення. При чотирьох ключах число елементарних подій .

Представимо тепер подію - розриву в колі немає (струм проходить) - у вигляді суми трьох подій , , , де подія полягає в тому, що ділянка « » струм проводить, а ділянка « » струм не проводить; подія - ділянка « » струм не проводить, а ділянка « » струм проводить; подія - обидві ділянки струм проводять. Тоді

( - число елементарних подій),

( ),

( ).

Отже

,

,

.

Події , , - несумісні, бо не мають загальних елементарних подій. Тому

Можна представити подію у вигляді суми двох сумісних подій:

,

де подія - ділянка « » струм проводить, подія - ділянка « » струм проводить. У цьому випадку

( ),

( )

і

( ).

Тому

2.5 Кинуто дві гральних кості. Знайти імовірність того, що випало двоє п'ятірок, якщо відомо, що сума очок, що випали, ділиться на п'ять.

Розв’язок. Нехай подія - випало дві п'ятірки, - сума очок, що випали, ділиться на п'ять. Шукану імовірність будемо знаходити за формулою

.

Подія містить одну елементарну подію - на першій кості випала цифра 5 і на другій 5. Подія містить сім елементарних подій, а подія - одну. Через те що всього елементарних подій 6²=36, то і . Отже

.

2.6 Три бомбардувальники вилітають на виконання бойового завдання в тил супротивника, несучи кожний по одній ракеті. При проходженні протиповітряної оборони кожен з них може бути збитий з імовірністю 0,3. Імовірність поразки цілі однією ракетою для всіх літаків однакова і дорівнює 0,9. Знайти імовірність поразки цілі.

Розв’язок. Нехай подія - бомбардувальник збитий при проходженні протиповітряної оборони. Тоді подія - літак переборов протиповітряну оборону . Якщо подія - поразка цілі однією ракетою , то подія означає, що -тий бомбардувальник прорвав оборону супротивника і вразив ціль. Події і незалежні, тому

.

Можна шукану імовірність визначити, розглядаючи подію – ціль уражена першим літаком, або другим, або третім, або двома, або трьома. Нагадаємо, що "або" не виключає можливість спільної появи події. Але краще шукати шукану імовірність, виходячи з протилежної події - ціль не уражена ні першим, ні другим, ні третім бомбардувальником. Тому що

,

то

.

2.7 Два напівпровідникових діоди з'єднані послідовно. Імовірність короткого замикання кожного з них становить , а обриву - . Вважаючи, що несправність, що виникає в одному діоді, не впливає на роботу іншого й один діод може підтримувати працездатність кола, знайти імовірність працездатності кола.

Розв’язок. Коло буде працездатним, якщо обидва діоди справні або, коли один діод справний, а в іншому – коротке замикання. Позначимо першу подію , а другу - . Ці події несумісні, тому шукана імовірність

.

Тепер задачу зведено до знаходження імовірності подій і . Через те що працездатність одного діода не впливає на роботу іншого, тому

,

де подія - діод справний. Для знаходження імовірності скористаємося формулою

.

Подія - діод несправний, якщо в ньому можливе коротке замикання (подія , ) або обрив (подія , ). Тобто

і

.

Отже,

.

Подія полягає в тому, що перший діод справний, а в другому виникло коротке замикання або навпаки . У такий спосіб

і

.

Остаточно одержуємо

.

2.8 Є радіолокаційних станцій, що стежать за об'єктом. Кожна станція виявляє об'єкт незалежно від інших станцій з імовірністю . Знайти імовірність того, що об'єкт буде виявлений.

Розв’язок. Нехай подія - об'єкт буде виявлений і-тою станцією. Об'єкт не буде виявлено (подія ), якщо він не буде виявлений жодною з п'яти станцій. Це значить, що повинна відбутися подія

Виходить, імовірність того, що об'єкт буде виявлений

.

2.9 У майстерню для ремонту надійшло телевізорів. Відомо, що з них мають потребу в регулюванні. Майстер бере перші штук. Яка імовірність того, що два з них мають потребу в регулюванні?

Розв’язок. Визначимо спочатку елементарну подію. Елементарна подія полягає в тому, що береться телевізорів. Умовно цю подію можна позначити п'ятьма порожніми клітинками, що заповнюються телевізорами.

Визначимо тепер кількість елементарних подій, що сприяють появі події - два мають потребу в регулюванні. Для цього заповнимо дві клітинки в елементарній події, представленій п'ятьма порожніми клітинками, двома несправними телевізорами у вигляді заштрихованих клітинок.

Через те що несправних телевізорів шість, то усього різних таких заповнень несправними телевізорами можна здійснити способами. Але на кожне таке заповнення порожні клітинки можна заповнити способами справними телевізорами. Виходить, подія складається з елементарних подій.

Усього заповнити двадцятьма телевізорами п'ять порожніх клітинок можна різними способами, що складає загальне число елементарних подій. Тому шукана імовірність

.

2.10 Сигнал повітряного оповіщення від радіолокаційного поста може з'явитися з однаковою імовірністю в будь-який момент часу між і . Знайти імовірність того, що він з'явиться в інтервалі , якщо .

Розв’язок. Вважатимемо сигнал оповіщення миттєвим. Тоді елементарною подією є момент оповіщення , а значить множина точок інтервалу утворить простір елементарних подій . Подія - сигнал, який з'явиться в інтервалі , складається з елементарних подій – моментів оповіщення . Шукану імовірність знаходимо за допомогою геометричного способу визначення імовірності

.