2328

5. ИМИТАЦИОННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ И ДВИЖЕНИЯ ПОГРУЗОЧНОГО ОБОРУДОВАНИЯ ФРОНТАЛЬНОГО ПОГРУЗЧИКА

5.1.Метод преобразования координат при проектировании рабочего оборудования фронтальных погрузчиков

Фронтальный погрузчик как механическая система на рис. 5.1 условно представлен в виде системы тел: 1 – задняя полурама с задним балансирным мостом; 2 – передняя полурама с передним мостом; 3 – портал; 4 – стрела; 5 – рычаг; 6 – тяга ковша; 7 – ковш.

Скаждой из названных механических систем связаны

относительные системы координат O( j)x( j) y( j)z( j), где j – номер тела механической системы [67]. Для рабочего оборудования фронтального погрузчика соответственно имеем следующие

O( j)x( j) перпендикулярны чертежу, поэтому в дальнейшем изложении используем плоские системы координат O( j) y( j)z( j) . Последующие

относительные системы координат (с восьмой по одиннадцатую) связаны с гидроцилиндрами и штоками гидроцилиндров. Гидроцилиндр рассматривается как механическая система, состоящая из двух связанных тел: цилиндра и поршня со штоком.

Каждое тело механической системы состоит из соответствующего числа точек, которые имеют нумерацию в порядке их значимости с точки зрения решаемых математических задач. Относительные координаты каждого тела имеют соответствующие

обозначения y(jj.)i, z(jj.)i , где j – номер тела; i – номер точки тела.

Например, для стрелы погрузчика самой важной точкой является точка 4.1, обозначение которой состоит из номера тела 4 и точки 1 на теле, которой является шарнир соединения стрелы с порталом.

Второй по важности точкой для всех тел принята точка, совпадающая с центром тяжести тела, для стрелы это точка 4.2, для ковша – 7.2 и т.д. Третья точка тела определяет ориентацию оси

O( j) y( j) в принятой плоской системе координат. Для тел, связанных шарнирами, точка 3 – это, как правило, другой шарнир на теле. Точка 3 тела обычно имеет двойную нумерацию, т.к. для следующего тела это будет первая точка в своей следующей системе координат.

Другие точки тела получают соответствующую индексацию по условию их значимости для выполняемых расчетов. Механическая система связанных тел движется в абсолютной системе координат Oxyz (см. рис. 5.1), которая может быть неподвижной или двигаться, например, при черпании материала. Для точек каждого тела заданы

координаты в относительных системах координат O( j) y( j)z( j) , которые являются основой для выполнения операции преобразования относительных координат в основную систему координат Oyz. Преобразование координат осуществляют при плоском движении путем поступательного (параллельного) переноса координат тела вместе с началом координат и поворотом точек тела на некоторый задаваемый угол вокруг начала координат. Рассмотренные операции составляют сущность прямого преобразования координат.

Прямое преобразование относительных координат движущегося тела в плоскости выполняют по формулам

где yj.i , zj.i – координаты точек тела в основной системе координат

Oyz; y(j.ji) , z(j.ji) – координаты точек тела в относительной системе координат; yoj , zoj – координаты начала относительных систем

координат; ( j) – угол тела в абсолютной системе координат.

Метод обратного преобразования координат используется для определения относительных координат тела через известные абсолютные координаты по формулам

На рис. 5.1 фронтальный погрузчик представлен как механическая система связанных тел. Контур каждого тела определяют совокупностью точек, относительные координаты которых представляют в виде базы данных как конечное множество однородных векторов-столбцов матрицы размером 2×n, где n – число точек тела.

где A(j.ji) – матрица координат точек j-го тела в j-й системе координат;

n – число базовых точек тела.

Система координат Oyz, скрепленная с передней рамой, может использоваться как условно неподвижная система координат для исследования движения рабочего оборудования как сложной механической системы.

Выходной информацией при моделировании являются абсолютные координаты базовых точек тел механической системы, которые формируются в виде матрицы Aj.i размером 2×n и которые

являются результатом параллельного переноса и поворота относительных систем координат:

Aj.i Trans Rot A(j.ji),

где Trans, Rot – квадратные матрицы соответственно параллельного переноса и поворота относительных осей координат.

Выходные координаты точек тел механической системы в основной системе координат можно представить как конечное

ковша) с рассмотренными звеньями образуют второй кинематический треугольник с вершинами 3.10, 4.6, 5.3, в котором неизвестными величинами являются угол поворота (5) тела 5 и его абсолютные координаты в системе координат Oyz. Таким образом, последовательно вычисляются абсолютные координаты точек 4.6, 4.3 тела 4, точки 5.3, 5.4 рычага и углы (4) , (5) в абсолютной системе координат Oyz. Рассмотренные точки образуют фиксированное звено, к которому примыкает тяга постоянной длины, ограниченная точками 5.4, 7.3, и звено постоянной длины, ограниченное точками ковша 7.1, 7.3. Таким образом, и здесь имеется третий кинематический треугольник с вершинами 5.4, 7.1, 7.3.

На рис. 5.3 показан обобщенный кинематический треугольник, являющийся единым для расчета кинематики механических систем [15]. Введем понятие фиксированное тело, под которым будем понимать неподвижное или движущееся тело, координаты которого известны в данный момент фиксированного времени и с помощью которых определяются координаты связанных с ним других движущихся тел в данный момент времени.

В обозначениях длин сторон кинематического треугольника dj, lj, cj (см. рис. 5.3) индекс j соответствует номеру движущегося тела, совпадающему с номером относительной системы координат, например, для стрелы j=4. Вершины обобщенного замкнутого кинематического треугольника обозначим (1), (2), (3). Тогда положение фиксированного звена dj определяется точками (1), (2). Две другие стороны кинематического треугольника lj и сj, образованные соответствующими точками (1), (3) и (2), (3), являются задаваемыми переменными или постоянными величинами. Звено переменной длины сj в общем случае можно рассматривать как функцию двух переменных: сj = f (Sш,t), где Sш – перемещение штока гидроцилиндра; t – время. При имитации движения механической системы длина гидроцилиндра изменяется в пределах

cjmin cj cj max .

Таким образом, плоское движение j-го тела механической системы относительно основной неподвижной системы координат Oyz рассматривается в общем случае как поступательное движение тела вместе с полюсом и вращение тела относительно полюса, определяемое углом φ(j).

Теперь рассмотрим детально алгоритм кинематического моделирования движения системы. Сначала рассмотрим общий

алгоритм плоского движения тела механической системы методом преобразования координат, а затем применим его для описания движения тел рассматриваемой сложной механической системы, изображенной на рис. 5.2. Длина звена (1) – (2) фиксированного тела (см. рис. 5.3) определяется по формуле аналитической геометрии с использованием известных координат точек (1), (2):

Угол ( j), образованный относительной системой координат в абсолютной системе координат, определяется по уравнению углов, составленному для вершины (1) кинематического треугольника:

отрицательные знаки, так как они отсчитываются в направлении вращения часовой стрелки от направления оси Oy – основной системы координат. Угол αj – всегда положительная скалярная величина.

После вычисления угла ( j) можно выполнить прямое преобразование координат j-го тела из относительной системы координат O(j)y(j)z(j) движущегося тела в основную систему координат Oyz по формулам

где yj.i , zj.i – координаты точек тела в основной системе координат

Oyz; y(j.ji) , z(j.ji) – координаты точек тела в относительной системе координат; yoj , zoj – координаты начала относительных систем

координат; ( j) – угол тела в абсолютной системе координат. Представленный алгоритм преобразования координат и формулы

(5.5) – (5.10) не имеют ограничений по числу тел системы, числу точек каждого тела и позволяют моделировать движения тел любой

в основной (неподвижной) системе координат, известны размеры звеньев кинематического треугольника: d4, l4, c4 и относительные координаты точек движущегося тела 4 механической системы.

Относительные координаты тела 4 имеют следующие обозначения и принадлежность: y4(4.3) , z4(4.3) – вершина стрелы; y4(4.4) , z4(4.4)

–шарнир гидроцилиндра стрелы; y4(4.5) , z4(4.5) – шарнир

энергосберегающего гидроцилиндра; y4(4.6) , z4(4.6) – шарнир начала поворота ковша.

Неподвижные точки кинематического треугольника для фиксированного тела 4 имеют следующие обозначения и координаты:

y(1) =y3.7 =0; z(1) =z3.7 ; y(2) =y3.8; z(2) = z3.8.

Подвижная точка (3) треугольника (1), (2), (3) имеет координаты в относительной системе координат O(4)y(4)z(4): y(3) y4(4.4); z(3) z4(4.4).

При исследовании кинематики механизма длина звена c4 может изменяться дискретно или по заданному закону в пределах

c4min c4 c4max .

Для механической системы алгоритм кинематики вращения тела 4 имеет следующую последовательность математических операций. Длина неподвижной стороны d4 кинематического треугольника для тела 4 определяется по формуле

d4 (y3.7 y3.8)2 (z3.7 z3.8)2.

Длина стороны l4 кинематического треугольника движущегося тела 4 определяется с использованием относительных координат

Определим вспомогательный угол μ для тела 4 (см. рис. 5.4), который на обобщенной схеме (см. рис. 5.3) равен нулю (μ=0) и условно не показан. Вычислим длину вспомогательного отрезка 4.3– 4.4, определяющего расстояние между вершиной стрелы и шарниром гидроцилиндра стрелы:

l1 (y4(4.4) y4(4.3))2 (z4(4.4) z4(4.3))2 .

Учитывая, что длина стрелы l2 y4(4.3) , определим угол μ,

используя теорему косинусов: arccosl42 l22 l12 . 2l4l2

Тогда угол тела 4 в абсолютной системе координат можно определить из уравнения углов для вершины 4.1 треугольника (см.

рис. 5.4):

(4) 4 4 .

Преобразование относительных координат точек тела 4 в основную систему координат Oyz осуществляем по формулам (5.5), (5.6):