Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1889.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

x ln(x2

1) 2x 2arctgx C.

6. x ctgx ln

sinx

x2 1

x 1

(2x

1)arcsinx

1 x

3 5

C. 10.

ln x

x 1)e

2.4. Интегрирование рациональных дробей

2.4.1. Простейш е рациональные

дроби и их интегрирование

С P x

, где P x ,Q

Рац ональная

дро ь

−

многочлены

Qm x

степени n

m соответственно, называется правильной, если n m.

Если n m, то дро ь неправильная.

миПростейш рациональными дробями называются дроби

следующ х т пов:

x a .

II.

, n 1.

x a n

III.

M x N

xбpx q А

M x N

, n 1,

x2 px q 0 − не имеет действитель-

IV. x2 px q n

ных корней.

Простейшие дроби интегрируютсяДследующим образом:

dx A

d(x a)

Aln

x a

dx A (x a) n d(x

C .

x a n

n 1

x a n 1

Основной

приём

вычисления

простейшей

дроби третьего

типа

Mx N

–

выделение

полного

квадрата

из

квадратного

x2 px q

трёхчлена, стоящего в знаменателе.

Т.е. x

px q x

. Затем надо сделать подстановку

t x

разложить

полученный

интеграл

на

сумму

двух

интегралов.

2.4.2. Разложение правильной рациональной дроби на сумму

простейших дробей

Любая прав льная рациональная дробь

Pn x

может быть

Qm x

единственным

разом

представлена

в виде

суммы простейших

рациональных дро ей. Если знаменатель записать в виде

произведен я

неповторяющихся

линейных

квадратичных

множителей

Q x (x a )k1

... (x a

)kn

(x2

p x q )r ,

где k1,k2,...,kn,r

− натуральные числа,

то

эту

дробь

можно

представить в виде следующей суммы простейших дробей:

Bx C

B x C

...

(x a )

(x2 p x q )r

(x a )k1

(x2 p x q )

,C1,...,Br

Коэффициенты A1

,A2,...,B1

,Cr

в разложении находятся

с помощьюбметода неопределённыхАкоэффициентов.

ля этого обе

части равенства приводят к общему знаменателю, а затем

приравнивают

коэффициенты

при одинаковых

степенях x

(метод

неопределённых коэффициентов). Можно воспользоваться другим

способом: не раскрывая скобок, дать аргументу

столько различных

значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов (второй

способ).

2.4.3. Интегрирование неправильных рациональных дробей

Для нахождения интеграла от неправильной рациональной

дроби

Pn x

следует представить её в виде суммы многочлена и

Qm x

правильной рациональной дроби

Pn x

L x

r x

Qm x

r x − остаток от

где L x − многочлен (целая часть при делении);

деления.

(5 4x)dx

Пример 1. Найти

(x 1)(x 2)

Решен е. Представим подынтегральную функцию в виде суммы

простейш х дробей, т.е.

5 4x

приравн

1)(x 2)

x 1

x 2

Пр водя дро

в правой части равенства к общему знаменателю

вая после этого числители правой и левой частей, получим

образом3 3ln x 1 ln x 2 C.

5 4x A(x

2) B(x 1).

Полагая в полученном тождестве x 2, имеем

5 4 2 3B B 1.

Полагая x 1, меем 5 4 ( 1) 3A

A 3.

Таким

, искомый интеграл

(5 4x)dx

(x 1)(x 2)

x 1

x 2

Пример 2. Найти

(x2 6)dx

x(x 3)2 .

Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная

дробь. Разлагая её на сумму простейших дробей, получим

x2 6

x(x

x 3

(x 3)

Приведём правую часть полученного соотношения к общему

знаменателю и приравняем числители:

x2 6 A(x 3)2 Bx(x 3) Cx.

Для нахождения неопределённых коэффициентов будем

комбинировать два вышеизложенных способа.

Полагая x 3,

получим 9 6 3C

C 5.

При x 0 имеем 6 9A

Для определения коэффициента B сравним коэффициенты при

в обеих частях тождества: 1 A B, откуда B 1 A

Находим искомый интеграл:

(x2 6)dx

x 3

x(x 3)2

3 x

3 x 3

(x 3)2

x 3

Пр мер 3. Найти

(x2

5x 9)dx

(x 1)2(x2

2x 2)

Решен е. Представ м подынтегральную функцию в виде суммы

простейш х дробей.

x2 5x 9

Cx D

(x 1)2(x2 2x 2)

x 1

(x 1)2

2 2x 2

Пр водя дро

в правой части равенства к общему знаменателю

вая ч сл тели, получаем

приравн2 2

2x 2) (Cx

D)(x 1)

x 5x 9

A(x 1)(x

2x 2) B(x

Полагая x 1, находим B:

1 5 9 B(1 2 2)

B 1.

Числа A,C, D найдём, приравнивая коэффициенты при x3, x и

свободные члены в тождестве:

при x3

A C 0;

при x

2B C 2D 5;

бА0

при x

2A 2B

Решив полученную систему, получим A

;

Следовательно,

(x 5x 9)dx

7 (x 3)dx

(x 1)2(x2 2x 2)

x 1

(x 1)2

x2 2x 2

В последнем интеграле квадратный трёхчлен

x2 2x 2 0 не

имеет действительных корней, значит имеемИинтеграл от простейшей дроби третьего типа Для его вычисления выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе.

x2 2x 2 x2 2x 1 1 2 (x 1)2 1.

Тогда

(x 3)dx

t x 1

t 2

tdt

x t 1

x2 2x 2

t2 1

(x 1)2 1

dx dt

t2 1

d (t2

2arctg t C

x 2

2 x

2 arctg

( x 1) C .

Так м образом,

меем

(x2 5x 9)dx

x2 2x 2

arctg(x 1) C.

(x 1)2(x2 2x 2)

x 1 10

бА

Пр мер 4.

x4 3x2

5x2

30x 22

x3 x2 8x 12

НРешен е. Подайтинтегралом стоит неправильная рациональная

дробь. Выделяя целую часть, получим

x4 3x2 5x2 30x 22

x 2

x2 2x 2

x3 x2 8x 12

3 x2 8x 12

Следовательно,

x4 3x2 5x2 30x 22

2)dx

x2 2x 2

dx.

x3 x2 8x 12

8x 12

Первый интеграл интегрируется непосредственно

2)dx

2x.

Постоянную C опускаем, относя её ко второму члену.

Во втором интеграле замечая, что

x2 8x 12 (x

2)2(x 3)

разложим правильную рациональную дробь

2 2x 2

x2 2x 2

на простейшие дроби:

x3 x2 8x 12

(x 2)2(x 3)

x2 2x 2

(x 2)2

x 2

(x 2)2

x 3

(x 3)

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем

x2 2x 2 A(x 2)(x 3) B(x 3) C(x 2)2 .

Полагая x 3 и x 2, находим C 1 и B 2. 5

Для нахождения коэффициента A приравняем коэффициенты при x2 в тождестве. Получим

1 A C A 1 C 4.

Поэтому

x2 2x 2

1 dx

x3 x2

(x 2)2

8x 12

(x 2)

(x 3)

Сln

x 2

x 3

C .

x 2

Наход м скомый интеграл

бА

3x2 5x

2 30x 22

x3 x2 8x 12

x 2

x 3

2.5. Интегр рование тригонометрических функций

2.5.1 Интегралы от произведения функций

sinm xcosn xdx,

где m и n − целые числа.

Рассмотрим частные случаи:

а) если

m −

нечётное,

то применяется подстановка t cosx;

n − нечётное, то подстановка t sinx;

б) если n и m − чётные неотрицательные числа, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул

понижения степени:							И
		1 cos2x				1 cos2x	И
	2	1 cos2x		2		1 cos2x		1
sin		x	, cos		x		, sin xcos x		sin2x;
sin		x	, cos		x		, sin xcos x		sin2x;
		2				Д2 2

в) если n и m − либо оба чётные, либо оба нечётные, причём хотя бы одно из чисел отрицательное, то применяют подстановку t tgx или t ctgx .

2.5.2 Интегралы вида общего вида R sin x,cos x dx,

где R − рациональная функция.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки

t tg x , 2

откуда sin x

;

cos x

1 t2

;

2dt

, интегралы данного

1 t2

вида приводятся к интегралам от рациональных алгебраических

функций.

2.5.3. Интегралы от произведений вида

sinmxcosnxdx,

cosmxcosnxdx, sinmxsinnxdx:

выч сляются с

спользованием формул тригонометрии

sin mxcosnx

sin m n x sin m n x ;

cosmxcosnx

cos m n x cos m n x ;

sinmxsinnx

cos m n x cos m n x ;

бА

иcos x cos x, sin x sin x.

Пр мер 1. Найти sin7xcosxdx.

Решение. Применив формулу

sin cos

(sin( ) sin( )),

разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, затем разбиваем

на два интеграла:

sin7xcosxdx

(sin(7x x) sin(7x x))dx

(sin8x sin6x)dx

1 sin(8x)d(8x)

sin(6x)d(6x)

= 2

2 6

cos8x

cos6x C.

Пример 2. Найти cos4 xdx.

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию с помощью

1 cos2x 2

формулы

понижения

степени:

cos

xИ(cos x) ( ) .

Следовательно,

1 cos2x

cos

xdx

(1 2cos2x cos

2x)dx

cos2xdx

(1 cos4x)dx

cos2xd(2x)

cos4xd(4x)

sin2x

sin4x C.

Пр мер 3. Найти

5 4cos x

Решен е.

Пр меним

универсальную

тригонометрическую

подстановку. Полагая tg x z и заменяя cosx,dx через z указанными

выше

х выражен ями, вытекающими из этой подстановки, получим

бА

arctg

arctg(

) C.

5 4cosx

z2 9

3 2

НПр мер 4. айтиsin xdx.

Решен е.

Отделяем

от нечётной степени один множитель

sin5 x sin4 x sin x

делаем

замену

cosx z.

Тогда получим

sin xdx dz.

sin5

xdx sin4

x sinxdx (1 cos2

x)2 sinxdx

(1 z2)2( dz) (1 2z

4)dz z

2z3

C cosx

cos

Задачи для самостоятельного решения

Найти следующие интегралы:

1. cos2xsinxcos3xdx. 2.

sin

cos

xdx.

1 sin x

cos

xdx.

3 cosx

5 2sinx 3cosx

7. cos2 2xsin2 3xdx.

8. cos5 xdx.

1 2cosx

Ответы

1..

cos6x

cos4x

cos2x C.

cos2x

cosx C.

С2

1 tg

10x

C . 4.

arctg

C. 5.

sin

1 tg

arctg

sin6x

2xsin2x

sin8x

sin4x C.

бА

и2 1

sin x

sin3

sin5

x C .9.

2.6. Интегрирование выражений, содержащих квадратный

трёхчлен

Для отыскания интегралов от функций, содержащих квадратный

трёхчлен, для преобразования их к формулам интегрирования следует

вначале выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена, в

результате чего он преобразуется в квадрат двучлена ax2 bx c

a(x

) a (x

)

4a2

Далее делаем замену переменной x

t;dx dt.

Пример 1. Найти

x2 4x 8

Решение. Выделим

из

квадратного

трёхчлена полный квадрат

x2 4x 8 (x 2)2

4 и

сделаем

замену

x 2 t;dx dt. Тогда

получим

										dx																						dx													dt
										dx																						dx													dt							ln					t					t2 4				C


					x2 4x 8																				(x 2)2 4																			t2 4
					x2 4x 8																				(x 2)2 4																			t2 4

		ln					x 2 x2 4x 8																										C.

С																											7 8x dx
		Пример 2. Найти																																					.
																									2x2 3x 1
			Решен е. Выдел м из квадратного трёхчлена полный квадрат
	2																2					3		1																3		2					1
2x		3x 1 2(x																				2	x									) 2 (x								4	)															и				сделаем замену.
																						2		2																4						16
				3																				3
t x						;			dt dx; x t																			.
t x						;			dt dx; x t																			.
				4																				4
			Тогда получ м
										бА2
																			7 8x dx															1 (7 8x)dx																						1 (1 8t)dt									.
																			2															2							3				2			1								2				2			1		.
и2x 3x 1																																		2			(x				3		)		2			1								2			t	2			1
																																									4							16															16
		Далее разлож м полученный интеграл на сумму двух интегралов,
соответственно двум слагаемым в числителе и найдём их по формуле
			1		(1 8t)dt															1						dt											2tdt									1					1							t			1
																																	2																							ln		t			4
																																																													4
		2																	2																	t2 16										2									1						1
		2				t		2				1							2				t2 16													t2 16										2				2					1			t			1
						t					16																																							2				4				t			4
											16																																											4							4
						d(t									1			)								t				1													1
															1															1

		2											16							ln											4		2ln					t2								C.
		2																		ln													2ln					t2								C.
									t	2				1												t					1										16												И
									t				16													t					4																						И
													16																		4				Д
		Возвращаясь к исходной переменной x, окончательно получим
																(7 8x)dx															ln					x 1					2ln								x2 1,5x 0,5															C.


													2x2							3x 1															x 0,5
													2x2							3x 1															x 0,5
																	Задачи для самостоятельного решения
		Найти интегралы:																																																				dx
		1.									dx										.			2.					(x 3)dx										.				3.											dx					.
		1.																			.			2.															.				3.																.
									2 x x2																								x2 6x															x2 x 6

	dx			4x 3	dx			3x 1 dx
4.		. 5.				. 6.		.
	x2 4x 29		x2 3x 4
							x2 x 1

Ответы

x 3

arcsin

2x 1

C. 2. ln

x 1

x2 2x

C. 3.

x 2

arctg

x 2

C. 5. 2ln(x2

3x 4)

arctg

рование

2x 1

x 1

arctg

бА

2.7. Интегр

иррациональных функций

Не от всякой ррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.

Рассмотрим

интеграл

R(n xm , q

xp , g

xs )dx, где R –

рациональная функция

своих аргументов. Пусть k −

наименьшее

общее кратное показателей корней, т.е. чисел n, q, g . Сделаем

подстановку x tk; dx ktk 1dt. Тогда каждая дробная

степень

выразится через целую степень t, и подынтегральная функция

преобразуется в рациональную дробь от t.

Интегралы вида R x,n ax b

преобразуются в интегралы от

рациональных дробей с помощью подстановки

ax b tn .

ax b

Интегралы

вида

рационализируются

R x,

cx d

помощью подстановки

ax b

cx d

R x,

dx ,

R x,

dx ,

Интегралы

вида

x2 a2

R x,

x2 a2

интегрируются

с помощью

тригонометрических

подстановок:

x asint

или

x acost;

x atgt

или

x actgt ;

или

cost

– соответственно.

sint

Пример 1. Найти

dx.

x(3

x 1)

Решение. Здесь x входит в подынтегральную функцию с

показателями корней 2 и 3. Поэтому применяем подстановку x t6,

откуда

Сx 2

3 2

t3 2

dx 6t

dt 6

dt.

x(3 x 1)

6(t2 1)

t3 t

t 6

бА

Выделяя

целую

Получ лся

нтеграл

от

рациональной

дроби.

часть,

меем

t3 2

t 2

dt 6 1

6 t

dt .

Для

нахождения

последнего

интеграла

разложим

подынтегральную функцию на простейшие дроби:

t 2

Bt C ,

t(t2 1)

t2 1

откуда

t 2 A(t2 1) (Bt C)t.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, находим

A 2;

B 2; C 1.

Следовательно,

t 2

1 2t

6 t

6 t 2

6 t 2ln

t(t

2tdt

d(t2 1)

6 t 2ln

arctgt

6 t 2ln

arctgt

C 66

2ln6

arctg6

ln(3

1) C.

Пример 2. Проинтегрировать

2x 3

dx.

2x 3

4 (2x 3)3

Решение. Полагая 2x 3 t4 , имеем

2x 3 t4

t4 3 t2

2x 2x 3

x (t

3)/2

3t t3

2x 3

(2x 3)

dx 2t3dt

t6 t4 3t

dt 2 t

3 t2

arctg

C, где t 4

2x 3.

Найти

Пр мер 3.

x 2

2(1 t2)

8tdt

Решен е. Полож м

x 2

откуда x

, dx

бА2 2 2

(1 t2)2

Следовательно,

x 2

1 t2

x 2

1 t

dt 4

dt.

x 2

(1 t2)2

2(1 t2)

(1 t2)(1 t2)

Для вычисления полученного интеграла представим

подынтегральную дро ь в виде

1 (1 t2) (1 t2)

(1 t2)(1 t2)

(1 t2)(1 t

Таким образом,

(1 t

) (1 t )dt 2

dt 2

(1 t

)(1 t

)

(1 t

)(1 t

)

(1 t

)

(1 t

)

1 t

2arctgt C, где t

x 2

1 t

x 2

Пример 4. Найти

4 x2

dx.

Решение. Положим x 2sint . Тогда dx 2costdt;

4 x2 4 4sin2 t 4cos2 t. Имеем

4 x2

4cos2 t

2costdt

ctg

tdt

ctgt t C.

(2sint)2

sin2 t

Так как sint

, то ctgt

cost

1 sin2 t

1 (x/2)2

4 x2

x/2

sint

t arcsin

. Поэтому

4 x2

arcsin

Пр мер 5. Найти

(4 x2)3

и2

2dt

Решен е. Полагаем x

2tgt. Откуда dx

cos2 t

2 4

4tg2t 4

. Следовательно,

бА

2dt

cos

2 t

cost

cos t

costdt

sint C

tgt

(4 x2)3

(2/cost)3

4 1 tg2t

x/2

4 1 (x/2)2

4 4 x2

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы:

x 1

dx.

3x 1

2x 1 1

4x 3

Дdx 3x 1 dx

x2 4x 29

x2 3x 4

x2 x 1

4 x2 dx.

(x2 4)3

x2 1

Ответы

x 2

C. 2.

2x 1

3) C .

(3x 1)2

2x 1

3 x

x 2

3. 6(

6 x ln(1 6

x) C . 4.

arctg

5. 2ln(x2 3x 4)

arct

ln(x2

arctg

7. arcsin

C .

8. 2arcsin

(2 x2)

4 x2

C. 9.

4 x2

задания

для самопроверки [3, 5, 6, 8]

Вопросы

формул руйте

определение

первообразной

функции.

бА

Докаж те теорему о множестве первообразных функций.

2. Сформул руйте понятие неопределенного интеграла. Какие

свойства неопределенного интеграла вы знаете?

3. Как е основные методы интегрирования (непосредственное,

замена переменной, внесение множителя под знак дифференциала, по

частям) вы знаете?

4. Какие методы решения интегралов, содержащих квадратный

трёхчлен, вы знаете?

Укажите

методы

интегрирования

некоторых

тригонометрических функций.

6. Что такое универсальная тригонометрическая подстановка и

когда она применяется?

7. Какие методы интегрирования применяют для нахождения

интегралов, содержащих иррациональные выражения?

8. Какая рациональная дробь называется правильной?

Контрольная работа по разделу «Неопределённый интеграл»

Вариант 1

;

5 x2

x2 6

x2 16

15 x2

2x3

1 3cos2

3x 5

dx; (6x

4x 6

)dx;

dx;

dx.

cos2 x

ln x 5 8

dx;

xdx

;

x 5

1 36x2

sin2 x

ctg2x 2

(1 6x)sinxdx ;

lnxdx ;

e2x 1 x 5 dx .

2 3x

(1 sin x)dx

sin3xsin2xdx

;

cos

dx,

cosx(1 cosx)

3dx

;

x2 4x 2

dx;

(2x2 x 1)dx

;

x3 2x2 1

dx.

x(1 x)2

(x2 2x 5)(x 3)

x2 1

(3 x)(2 x)

Вариант 2

2xdx

;

5 x2

x2 6

x2 5

x2 2

(

2)2 dx

2dx

и3 x 3

;

(8x

x)dx; (

sin2

)dx.

ln3 x 5 14

x2dx

x 5

dx,

3 6sin x

cosxdx.

1 13x3

(2x 3)sin3xdx; e2x 1(x 2)dx; (x2

2)ln xdx.

sin3xcos2xdx; sin2

dx,

sin xdx

(4x 1)бdx x 2x А5 (1 x) dx x 1

(x 3)(x 4)

;

(3 x)3

dx;

x(1 x2)

;

x2 1

dx.

Вариант 3

3xdx

;

x2 1

x2 7 10 x2

8 x2

4 3 x2

dx; (

)dx; (2

x 3)3dx.И

cos2

cosxdx

; 53x2 1xdx;

ln3(x 5)dx

;

x3dx

sin x 5

x 5

3 x4

(5x 6)cosxdx ;

lnx

dx ;

x2 2 exdx .

dx; sin

2 2x

cosxdx

sin

cos

1 sin x cosx

x4 x 1

(3x 2)dx

;

(4x2 2x 5)dx

;

(x 1)2 dx

;

dx.

x(6 x)

(2x 1)(x 3)

(x 1)(x

25)

x 3

Вариант 4

;

x2 3

x2 6 16 x2

7 x2

2 5 x3 dx;

(

)dx;

5)2dx.

бА

ln(x

2 arctg5x

x2dx

dx;

dx; xcos(3x

5)dx;

иx 1 1 x

(3 7x)e2xdx; (2x 5)sin xdx; 5

ln xdx.

sin

cos2xdx; sin

xcos

xdx,

sin xdx

1 cosx sin x

x5 2

(1 x)dx

;

3x2dx

;

(4 x)dx

;

dx.

(x 2)(x 2)

x(2x

(x 6)(x 3)

x 1)

Вариант 5

;

6 x2

x2 13

x2 36

27 x2

Д2

1 3 x2

dx; (

)dx; (2

dx.

3 x2

exdx

cosx 3 2sinx 2dx.

x4 4

x3dx;

;

ex 8 4

Иx

(3 8x) 6

dx; arccosxdx;

9x 2)sin

dx.

2xdx

cos7xcos5xdx;

;

sin

;

cos

sin

dx.

1 sin x

(2 x)dx

;

x2dx

;

(x 3)dx

;

x3 2x 1

dx.

(4 x)

1)(x

(x 4)(x 1)

2x 4)

Вариант 6

;

36 x2

x2 1

x2 6

25 x2

5 4 x3

dx; (

)dx; (4

1)3dx.

sin2

x arctgx

cos 4x dx; x

7dx;

dx.

1 x2

(x 2)e 4xdx

; (x3 2x2 1)ln5xdx; (9 x2)sin3xdx.

sin2xcos9xdx;

(1 sin x)dx

;

cosxdx

cosx(1 cosx)

sin2

x 4sin x 4

(x2

4x 3)dx

(x2 2x 6)dx

x3 4x2 1

(x 3)(1 3x);

бА

(x 3)2 dx.

1)2(x 2)

;

(4x2

1)(x 1) ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20212.07 Mб51884.pdf
#
07.01.20212.08 Mб141885.pdf
#
07.01.20212.08 Mб31886.pdf
#
07.01.20212.08 Mб151887.pdf
#
07.01.20212.09 Mб131888.pdf
#
07.01.20212.09 Mб311889.pdf
#
07.01.2021336.18 Кб17189.pdf
#
07.01.20212.09 Mб201890.pdf
#
07.01.20212.1 Mб471891.pdf
#
07.01.20212.1 Mб211892.pdf
#
07.01.20212.11 Mб131893.pdf