l 2

a(1 cos ) 2 asin 2d 2a

2(1 cos )

d 4a cos

d

0

0

0

2

8asin

8asin

8asin0 8a.

2

0

2

С

Задачи для самостоятельного решения

1.

Выч сл ть

площадь

фигуры,

ограниченной

параболой

y 4x x2

осью абсц сс.

и

ограниченной кривой

y ln x,

2.

Выч сл ть площадь фигуры,

осью абсц сс

прямой x e.

y2

3.

Выч сл ть площадь фигуры,

ограниченной кривой

x,

прямой y 1

верт калью x 8.

4.

бА

y tgx,

Выч сл ть площадь фигуры,

ограниченной кривой

осью абсц сс

.

прямой x

3

5.

Выч сл ть

площадь

фигуры,

ограниченной

параболой

y 2x x2

и прямой

y x.

6.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

параболами

y

x2

и y 4

2x2

Д

.

3

3

7.

Вычислить площадь фигуры,

ограниченной кривыми y ex ;

y e x

и прямой x 1.

Ответы

И

32

17

9

32

1.

. 2. 1. 3.

. 4. ln2. 5.

. 6.

. 7.

e

1

2.

3

2

3

4

e

b

n

f x

n

f

x

i

x

i

.

dx lim

a

d 0

i 1

Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, т. е.

отрезок интегрирования

a, b

бесконечен,

или функция f x имеет

С

несобственными

называются

.

Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция y f (x)

определена

непрерывна

при

всех

значениях

x a, .

Тогда

несобственный

нтеграл

с

есконечным

верхним пределом

бА

определяется следующ м о разом:

b

f (x)dx lim f (x)dx.

a

b a

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл

называется сходящимся, в противном случае − расходящимся.

Аналогично определяются несобственный интеграл с

бесконечным нижним пределом:

b

b

f (x)dx lim f (x)dx

Д

a a

и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами:

c

b

f (x)dx lim f (x)dx

lim f (x)dx,

a a

b c

где c − произвольное действительное число.

Последнее равенство следует понимать так: если каждый из

несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то

существует (сходится) по определению и интеграл, стоящий слева.

Интегралы от разрывных функций. Пусть

функция y f(x)

определена и непрерывна при любых значениях x a,b , кроме точки

c, в которой

функция f (x)

имеет

бесконечныйИразрыв. Тогда

несобственный интеграл от разрывной в точке

c функции

f (x)

определяется так:

b

c

b

f (x)dx

lim

f (x)dx lim

f (x)dx.

a

0 a

0c

пределов) − расходящимся.

Если функция

f (x)

имеет разрыв в левом конце отрезка a,b ,

b

b

то по определению

f (x)dx lim

f (x)dx.

a

0 a

Пр знаки сходимости несобственных интегралов

Несобственный

нтеграл

f x dx

a 0

С

a

а) сход тся,

f x

M

и m 1;

xm

б) расход тся, если

f x

M

и m 1.

если

xm

Здесь M

m постоянные.

Пример

1.

Установить

сходимость

или

расходимость

dx

.

несобственного интеграла

Решение.

1 x2

x 2 1

dx

b dx

b

2

b

1

lim

бАlim x dx lim

| lim

1

2

1 x

1

b 0 1 x

b 1

b 2 1

b

b

lim

lim1 0 1 1.

b b

b

Следовательно, несобственный интеграл сходится.

Пример

2.

Установить

Д

сходимость

или

расходимость

dx

a 1 .

И

несобственного интеграла

x

a

Решение. По определению, имеем

dx

b dx

b

lim

lim ln x|a

lim lnb lna lna .

a x

b a

x

b

b

Пример

3.

Установить

сходимость

или

расходимость

несобственного интеграла

sin x

dx.

1

x5

Решение.

Так

как

функция

sin x

1, то

для

значений x 1

С

sinx

1

справедливо неравенство

, т.е. подынтегральная функция

x5

x5

удовлетворяет

услов

ю

f x

M

,

где

m 5 1

и M 1.

xm

интеграла0 0

0

ледовательно, несобственный интеграл сходится.

Пр мер

4.

Установить

сходимость

или

расходимость

0

e3xdx.

бА

Решен е. По определению несобственного интеграла, имеем

e3xdx

lim

e3xdx 1 lim

e3xd(3x)

1

lim e3x

0a

a a

3a a

3a

1

lim е

3а

е

0

1

е

1

1 1

1

0 1

1

3

3

1

3

3

.

3а

е

Следовательно, несо ственный интеграл сходится.

Пример

5.

Установить

сходимость

или

расходимость

4

4

4

dx

Д

несобственного интеграла

x x

.

0

1

Решение.

Подынтегральная

функция

f (x)

x

x

имеет

бесконечный разрыв в точке x 0. По определению, имеем

dx

dx

2

4

2

lim

lim

lim

1

,

x x

x

0

x x 0

0

0

т.е. данный несобственный интеграл расходится.

Пример

6.

Установить

сходимость

или

расходимость

9

dx

И

несобственного интеграла

.

0 3 (x 1)2

Решение.

В

данном

случае

подынтегральная

функция

f (x)

1

претерпевает разрыв в точке

x 1,

лежащей внутри

3 (x 1)2

отрезка интегрирования. Используя определение, имеем

С

lim 33

10

9

dx

1

dx

9

dx

lim

3 (x 1)2

lim

x 1

0 3 (x 1)2

0 0

01 3 (x 1)2

0

lim 33

x 1

19

3 lim 3

3

1

3 lim 3

8

3

9,

0

0

0

интегралов x

т.е. несобственный интеграл сходится.

Задачи для самостоятельного решения

бА

несобственных

Установ ть

сходимость

или

расходимость

.

dx

dx

ln xdx

1.

. 2.

cosxdx. 3.

e

dx. 4.

. 5. ln xdx. 6.

x2

.

1

x

0

0

x2 1

1

1

dx

dx

.

7.

. 8.

ln x

1

x5

2 x

Ответы

Д

1.Интеграл расходится. 2. Интеграл расходится. 3. 1. 4. .

5. Интеграл расходится. 6. 1.

7.

2

. 8. Интеграл расходится.

3

Вопросы и задания для самопроверки [3,4,5,6]

И

1.

Дайте определение частичной суммы.

2.

Какое определение определённого интеграла вы знаете?

3.

Какие свойства определённого интеграла вы можете назвать?

4.

Как называется формула для вычисления определённого

интеграла? Запишите её.

5.

Какие приложения определённого интеграла вы знаете?

6.

Как определяются несобственные интегралы?

Вариант 1

1. Вычислить определенные интегралы:

С

1

x2dx

1

x

0

dx

;

(x 1) 3 dx;

.

1 x

3

2

6x 18

0

0

3x

2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его

расход мость):

dx

.

2

линиями ) r cos2 .

0

x

4

3.

Выч сл ть площади

фигур,

ограниченных следующими

:

б

, y 0;

а)

y

x2

9

4.

Выч сл ть дл ну дуги кривой: y 1 lnsin x, 0 x

.

5.

4

Найти о ъём тела, о разованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной кривыми: y2 6x, 3 x 5.

Вариант 2

1.

Д.

Вычислить определенные интегралы:

1

x2dx

e

4

0

dx

А; x ln xdx;

.

0

1 x

1

2

x2 4x

2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его

расходимость):

2

И

x

dx

2

3.

x2 1

Вычислить площади фигур, ограниченных следующими

линиями:

а) y x2, y 2x 3;

б) r sin3 .

4.

Вычислить длину дуги кривой:

y2 16x, отсечённой прямой

Вариант 3

1.

Вычислить определенные интегралы:

e

ln xdx

1

1

dx