a

dx

x

a

8 ab

8 ab

arcsin

4 2ab.

a

2

2

0

a

x

0

Пример

6.

Вычислить

площадь

поверхности,

образованной

С

x t sint;

вокруг оси Ox.

вращением одной арки циклоиды

y 1 cost

Решение.

В

этой

задаче

y x

находится

как

производная

функц

,

заданной

параметрическим

способом,

т.е.

y x

yt

sint

2

и

xt

1 cost

1 y

2

x 1

sin2 t

2 2cost

2

dx 1 cost dt

1 cost 2

1 cost 2

1 cost

;

2

бА

2

3

S 2 1 cost

1 cost

1 cost dt 2

2 1 cost

dt

0

0

2

3

2

2

2 t

3

t

2 t

t

2 2

2sin

dt 8

sin

2

dt 16

1 cos

2

dcos

2

2

0

0

0

t

1

3 t

2

64

.

16

cos

cos

2

3

2

3

0

3.4.4. Длина дуги плоской кривой

И

Если кривая на плоскости Oxy задана уравнением

y f (x), то

длина дуги этой кривой, заключённойДмежду точками с абсциссами

x a и x b, находится по формуле

b

2

l

dx.

1 ( f x )

В

том

случае,

когда

a

кривая

задана

параметрическими

уравнениями

x x t ;

где

x(t)

и

y(t)

−

непрерывно

y y t ,

дифференцируемые функции;

t

− параметр,

то длина дуги кривой,

l

x 2 t y 2 t dt.

Если кривая задана в полярных координатах

r r( ),

то длина

дуги кривой, соответствующей монотонному изменению полярного

угла от 1 до 2, находится по формуле

2

r2 r 2d .

l

1

Пр мер 1. Найти длину дуги кривой, заданной

уравнением

y ex/2 e x/2

, 0 x 2.

С

1

x/2

x/2

Решен е. Д

, находим

y

(e

e

), откуда

2

ex 2 e x

ex /2 e x/ 2

,

1

1

(ex 2 e x )

1 f 2(x)

4

4

2

следовательноф, по формулеференцируимеемя

2

x /2

e

x /2

1

l e

dx ex /2 e x/ 2 02 e

.

2

0

e

Пример 2. Найти длину дуги кривой, заданной параметрически

x 3(t sint);

.

0 t

y 3(1 cost),

Решение. Так как

x (t) 3(1 cost);

y (t) 3sint, то

бА

t

x 2(t) y 2(t)

9(1 cost)2

9sin2 t 3

2(1 cost) 6sin

.

2

По формуле получим

t

t

l 6 sin

dt 12cos

12cos

12cos0 12.

Д

0

2

2

0

2

Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных

координатах r a(1 cos ).

Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси.

Изменяя

полярный

угол

от 0

до

, получим

половину длины

кардиоиды.

Так

как

r asin ,

И

то

применяя

формулу

2

r 2d , получим

l r2

1