С

x2

2

5

12. Найти модуль градиента функции u

y2

z2 .

и

Ответы

1

12

1. x2

2y

3

парабола.

2. 3.

3.

gradz(M)

. 4.

0. 5.

.

5 4

3

.

6.

2

.

7.

.

8. ( 3;1) и

(1; 1).

9. 2

. 10.

2

3

2

бА

2

5

11. gradu(M) (4; 8; 1);

gradu(M)

3; 12.

gradu

1.

1.4. Локальный экстремум функции двух переменных

Говорят, что функция z f (x, y)

имеет максимум (минимум) в

точке M0(x0,y0), если

f (x0, y0 ) f (x, y) (или

f (x0, y0 ) f (x, y)) для

всех точек (x, y), достаточно

лизких к точке(x0, y0)

и отличных от

неё.

Максимум и минимум функции называются локальными

экстремумами функции.

Теорема. (Необходимые условия существования экстремума

функции двух переменных). Если функция z f (x, y)

имеет в точке

M0(x0,y0) локальный экстремумДи частные производные первого

порядка,

то

все

эти

частные

производные

равны

нулю

при

x x0;y y0, т. е.

f

0;

f

0.

Иf

x

M0

y

M0

f

Точки, в которых одновременно

0

и

0,

называются

x

y

функция

z f (x, y)

имеет непрерывные частные производные до

третьего порядка включительно; пусть, кроме того, в этой точке

С

f (x0, y0)

0

и

f (x0, y0)

0. Тогда при значениях x x0, y y0

x

y

1) функц

я

меет экстремум в стационарной точке,

если число

A B

B C

причём

B C

f (x ,y

) z

приA 0;

0

0

max

f (x0,y0) zmin приA 0;

A B

2) функц я не

меет экстремума, если число

0;

3) если ч сло

A B

А

B C

0, то экстремум функции может быть, а

б

может

и

не ыть (в этом случае требуется дополнительное

исследование),

где

о означили через A,

B

и

C соответственно

2 f

2

f

2 f

значения частных производных второго порядка

,

и

2

2

x

x y

y

в стационарной точке M0(x0,y0).

Пример 1. Найти экстремум функции z x3

8y3

6xy 5.

Решение.

И

Находим частные производные первого порядка zx ,

zy и точки, в которых они равныДнулю или не существуют и которые

лежат

внутри

области

определения

функции:

zx

3x2

6y;

z

0;

zy 24y2 6x.

Решая систему уравнений

x

найдём две точки

0,

zy

1

M1(0;0)

M2

и

1;

.

Обе

точки

являются стационарными.

Далее

2

исследуем

эти

точки по

знаку

определителя

A B

. Найдём

B C

n

n

n

;

a x2

b x x y

i 1

i

i

i

i

i 1

i 1

n

n

a x b n y .

и

i

i

i 1

i 1

СПр мер. Имеются данные наблюдений

x

17.0

17.3

18.3

18.5

18.8

19.2

бАi

i

y

i

534

537

550

552

555

560

Предполагая, что между переменными x и y существует

линейная зависимость, найти

эмпирическую

формулу y ax b

i

x

y

Д

i

i

x

i

i

1

17.0

534

289

9078

2

17.3

537

299.29

9290.1

И

3

18.3

550

334.89

10065

4

18.5

552

342.25

10212

5

18.8

555

353.44

10434

6

19.2

560

368.64

10752

109.1

3288

1987.51

59831.1

Составим систему уравнений для нахождения неизвестных

коэффициентов a и b эмпирической функции

1987,51a 109,1b 59831,1;

109,1a

6b 3288.

1.

z x2 y2 xy 9x 6y 20.

2.

z 3x 6y x2 xy y2 .

3.

z x

x2 y 6x 3.

y

4.

z x3 y2(6 x y).

5.

z x2

xy y2

1

1

.

Найти

x

y

3

3

3xy.

С6. z x y

7.

z (x2 y) ey .

8.

бА

стац онарные точки функции

z x3 y2 4xy 3x2.

9.

В результате эксперимента для пяти значений аргумента x

получены пять значен й величины y:

xi

-2

0

1

2

4

yi

0.5

1

1.5

2

3

Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу

y ax b.

Ответы

1. zmin z( 4;1) 1. 2. zmin z(0;3) 9. 3. zmax z(4;4) 15.

1

1

9

4.

z

max

z(3;2) 108. Д5. z z(

;

)

.

min

3 3

3 3

3 9

2

6. zmin z(1;1) 1. 7.

zmin

z(0; 2)

.

8. Стационарная точка

2

4

e

И

M0

,

. 9.

y 0.425x 1.175.

3

3

Вопросы и задания для самопроверки [1,2,3]

1.

формулируйте понятие функции нескольких переменных.

2.

Какие способы задания функции двух переменных вы знаете?

3.

формулируйте определение предела функции двух

С

переменных.

4.

Какая

функция

нескольких

переменных называется

непрерывной?

5.

Как определяются частные и полное приращения функции

нормали

двух переменных в точке?

6.

Дайте определения частных производных первого порядка.

7.Как

зап сываются

уравнения касательной плоскости и

к поверхности?

8.

бА

Как определяются частные производные высших порядков?

9.

Сформул руйте понятие полного дифференциала функции

нескольк х

переменных

и укажите

его

применение

для

прибл женных выч слений.

10. Дайте определение скалярного поля, линий уровня,

поверхностей уровня.

11. Что называется производной по направлению?

12. Определите, что такое градиент и укажите его свойства.

13. Какая

точка называется локальным

максимумом

или

И

Контрольная работа по разделу «Функции нескольких

переменныхД»

Вариант 1

1.

Найти область определения функции z

x2 4

y2

4.

2.

Найти частные производные первого

порядка

функции

z

5x2 2y

.

3x y2

3.

Найти градиент функции z 3x2 y 3xy2 y3 в точке M(1;2).

4.

Составить уравнение касательной плоскости к поверхности

z y3

x2 y в точке A(3;4).

5.

Найти

частные

производные

второго

порядка

функции

z xy

2

x

3

1

y

4

.

С

2

6.

Исследовать на экстремум функцию z x2

2xy 4x y2.

Вариант 2

Найти

y sin x .

1.

Найти область определения функции z

2.

частные

производные

первого

порядка

функции

z

2x

x

2

y

3

ln y.

y

бА

3.

град ент функции z 2

x2

3y в точкеM( 1;1).

4.

Состав ть уравнение касательной плоскости к поверхности

z x2

y2x в точке M(2; 1).

y

5.

Найти

частные

производные

второго

порядка

функции

Д

z

xy 1

x3y.

6.

Исследовать на экстремум функцию z x2

xy y2 x y 1.

Вариант 3

1

z x

Найти градиент функции z 2x2 xy3 в точке M(1;2).

3.

4.

Составить уравнение касательной плоскостиИк поверхности

z xy2 2

x

в точке M(1; 1).

5.

Найти

частные

производные

второго

порядка

функции