Ответы

1. 10. 2. 0. 4.

1.

5. x 2y 3z 6 0

уравнение касательной

плоскости,

(x 1)

(y 1)

(z 1)

уравнения нормали.

1

6.

2

3

8x 8y z 12 0

уравнение

касательной

плоскости,

(x 2)

(y 1)

(z 12)

уравнения нормали. 7.

0,008. 8. 6.

8

8

1

z

z

13. 0,1.

14.

0;

1.

15. z

2x 2

ln(x

y)

;

z

cosy 2

ln(x

y)

.

x

y

x

y

x

y

С

x

y

1.3. Элементы скалярного поля

Пусть в пространстве (x, y, z) имеется область D, в которой

задана функц я u u(x, y,z). В этом случае говорят, что в области D

и

задано скалярное поле.

Поверхностью

уровня

функции

u F(x, y, z)

называется

поверхность, на которой эта функция сохраняет постоянное значение,

т.е.

F(x, y,z) const C .

Для функции двух переменных в таком случае это будут линии

уровня

–

линии,

на

которых

выполняется

равенство

F(x, y) constбАC.

Градиентом

функции

u F(x, y, z)

называется вектор,

координаты которого равны соответственно частным производным

u

,

u

,

u

в точке M .

Д

x

y

z

Для обозначения градиента используется символ

gradu

u

,

u

,

u

.

x

y

z

Аналогично в случае функции двух переменныхИu F(x, y) это

u

u

будет вектор на плоскости: gradu

,

.

y

x

Рассмотрим

в

области

D

функцию

u F(x, y, z)

и

точку

M(x, y,z). Проведем из точки M вектор a, направляющие косинусы

которого соответственно равны cos ,

cos ,

cos . На векторе a на

расстоянии

a

от

его

начала

рассмотрим

точку

M1(x x,y y,z z). Таким образом,

С

a x2 y2 z2 .

Предполож м, что функция

u F(x, y, z)

непрерывна и имеет

непрерывные частные производные в области D.

функцииlim

u

u .

в

точке M(x, y,z) по

Про зводной

от

u

F(x, y, z)

направлен ю вектора

a

называется

предел

отношения

u

при

u

a

a 0

, . .

обозначается

a

a 0 a

a

Для

выч слен я

производной по направлению применяют

формулу

А

u

F

cos

F

cos

F

cos ,

a

x

y

z

где (cos ,cos ,cos ) – направляющие косинусы вектора a.

u

Д

Производная

a

определяет

величину

скорости

изменения

функции u(M)

при перемещении точки M по направлению

вектора

a.

И

Градиент

есть вектор

скорости

наибыстрейшего возрастания

функции:

max

u

gradu

.

a

Пример 1. Определить линии уровня функции z 4 x2 y2 .

Решение. Линиями уровня будут линии, на которых

выполняется равенство 4 x2

y2

C.

Это

гиперболы,

уравнения

которых в общем

виде

x2 y2

4 C .

В

частности, если

C 0,

получаем

гиперболу

x2 y2

4, а если

C 5,

то

x2 y2

1 – уравнение сопряжённой

Пример 2. Определить градиент функции

u

x2

y3

в точке

3

M(2; 1).

2

Решение. Найдём частные производные первого порядка и

вычислим их значения в точке M(2; 1):

С

u

u

x;

u

y2 ;

(M) 2;

u

(M) ( 1)2 1.

x

y

x

y

ледовательно, скомый вектор градиента равен

Найти

gradu 2i j .

Пр мер 3.

производную

функции

u xy yz 1 по

направлен

ю вектора a (12, 3, 4)

в точке M(0; 2; 1).

Решен е.

Найдём частные производные первого порядка

функц

бА

:

u, а также направляющие косинусы вектора a

u

y,

u

x z,

u

y, т. к. модуль вектора a равен

x

y

z

a

122 ( 3)2 ( 4)2 13, то

cos

12

;

cos

3

; cos

4

.

13

13

13

Вычисляя значения частных производных в точке M(0; 2; 1) и

u

F

Д

подставляя в формулу

cos

cos

cos , получим

a

x

y

z

u

12

3

4

a

(M) 2

1

13

2

1.

13

13

Пример 4.

Найти наибольшую скорость возрастания функции

u ln(x2

y2) в точке M(3;4).

И

Решение. Находим частные производные первого порядка

функции u и вычисляем их значения в точке M :

u

2x

;

u

(M)

6

;

2

2

x

x

y

x

25

u

2y

;

u

(M)

8

.

x

2 y

2

y

y

25

6

8

Поэтому gradu(M)

;

, а искомая наибольшая скорость

25

25

возрастания

функции

в

направлении

градиента

max

u

gradu(M)

6 2

8 2

2

.

a

25

25

5

Задачи для самостоятельного решения

Найти

xy

z x2

2y,

1.

Найти

построить

линию уровня функции

Спроходящую через точку M( 1;1).

u 2x y

2

z3

2.

вел ч ну градиента функции

в точке

M(1;1; 1).

бА

3

3.

Найти модуль градиента функции z

в точке M(0;1).

x y 1

4.

Найти производную функции z x2

y2

по направлению

вектора a (4, 3) в точке M(3;4).

5.

Найти производную функции z 4x3

3y2

в точке M1(1;1) по

направлению, идущему к точке M

2(4;5).

6.

Найти

производную

Д

точке

функции

u

y2z 2xyz z2

в

M(3;1;1)

по

направлению

вектора a, если a образует с

координатными осями углы , , ,

причём

;

.

3

4

7.

Найти

наибольшую

скорость

И

возрастания

функции

u

10

при

переходе

точки

M(x, y,z)

через

точку

x2 y2 z2 1

M0( 1;2; 2).

точки,

в

которых

производная

функции

x

8.

Найти

z e

(x

y

3

3y)

по любому направлению равна нулю.

9.

Найти

наибольшую

скорость

может убывания

функции

u ln(x2 y2 z2)

при

переходе

точки

M(x, y,z)

через

точку

M0(1;1;1).