1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Математический анализ представляет собой основу всей

С

высшей математики. Его содержание составляют дифференциальное

и интегральное исчисления функции одной и нескольких переменных.

1.1. Определение и основные понятия

ями

явлений

приходится

встречаться

с

При

зучен

многих

функц

двух

олее независимых переменных.

Например,

при

вычислен

площади прямоугольника каждой паре его длины

x

и

бА

, значит, S

есть

ширины y соответствует определённое число S x y

функц я двух переменных. Введём понятие функции нескольких

переменных.

Если каждой паре (x, y)

значений двух независимых друг от

друга переменных величин x и y из некоторой области их изменения

D по какому-ли о

правилу ставится

в соответствие одно вполне

определённое значение величины z, то переменная z называется

функцией двух переменных x и y, определённая в области D.

Символически

функция

Д

так:

двух переменных обозначается

z f (x, y), z F(x, y) и т.д.

Функция двух переменных может быть задана, например, с

помощью таблицы или аналитически – с помощью формулы.

Пример 1. Вычислить частное значение функции

И

f (x,y)

x2 y2 при x 5;

y

3.

Решение. Подставляя

значения аргументов x 5 и y 3

в

функцию, получим f (5; 3)

52 ( 3)2

4.

случай трёх или более переменных.

Пример

2.

Найти

область

определения

функции

С

f (x,y) 4 x2

y2 .

Решение. Для того чтобы функция существовала, нужно, чтобы

под корнем стояло неотрицательное

число,

т.

е.

x

и y

должны

удовлетворять неравенству

4 x2 y2

0,

или

x2

y2

22

. Делаем

определения

вывод, что все точки

M(x, y), координаты которых удовлетворяют

указанному неравенству, лежат в круге с радиусом 2 с центром в

начале коорд нат на границе этого круга.

бА

Так же, как

для функции двух переменных, можно говорить об

области

я функции трёх, четырёх и более переменных.

Областью

функции

трёх

переменных

является

некоторая совокупность точек пространства, однако область

определен я

функц

четырёх и

более

переменных

уже не

проектирующаяся на

плоскости

Oxy

в область

определения этой

функции.

Д

Пример 3. Построить график функции z x2 y2.

Решение.

В

сечениях

поверхности

вертикальными

координатными плоскостями получаются параболы z x2 и z y2 , а

плоскостью,

параллельной плоскости Oxy

– окружность

x2 y2 C(рис.1.1).

Следовательно,

И

графиком

функции является

параболоид вращения.

z

3

Р

y

О

x

функция z f (x, y)

имеет три вида приращений.

Если

y

сохраняет

постоянное

значение,

а

x

получает

приращение

x,

то

z

получает

приращение

xz f (x x,y) f (x, y),

называемое частным приращением z

по

x.

y

Аналог чно,

если

x

сохраняет постоянное значение, а

приращен

, то z

получает

приращение

получает

пр ращен е

y

Сz f (x,y) f (x, y y),

называемое частным приращением z

по

y

бА

y.

Наконец, соо щ в аргументу x

приращение

x, а аргументу y

е y, получим

для

функции

z ещё

одно

приращение

z f (x x, y y) f (x, y),

которое

называется

полным

приращен ем функц

z.

Окрестностью радиуса r точки M0(x0,y0) называется

совокупность

всех

точек

(x, y),

удовлетворяющих

неравенству

(x x )2 (y y )2

r.

0

0

Пусть

дана

функция

z f (x, y),

определённая

в

некоторой

Д

области G плоскости Oxy. Рассмотрим некоторую точку

M0(x0,y0),

лежащую в области G или на её границе.

Число A называется пределом функции

z f (x, y)

при

стремлении точки M(x, y) к точке M0(x0,y0), если для каждого числа

0 найдётся

такое

число

r 0 ,

что

для всех точек M(x, y),

удовлетворяющих неравенству

(x x )2 (y y )2

r,

имеет место

0

0

неравенство

f (x,y) A

.

Если число A является пределом

функции

z f (x, y)

при

стремлении

точки

M(x, y)

к

точке

M

(x ,y ),

то

записывают

lim f (x, y) A.

0 И0 0

x x0

y y0

Пусть точка M0(x0,y0) принадлежит области определения

функции z f (x, y). Функция

z f (x, y)

называется непрерывной в

точке M0(x0,y0), если имеет место равенство

lim f (x,y) f (x0,y0),

x x0

y y0

причём точка M(x, y) стремится к точке M0(x0,y0) произвольным

образом, оставаясь в области определения функции.

Если в некоторой точке N0(x0,y0) не

выполняются

условия

непрерывности, то точка N0(x0,y0) называется точкой разрыва

функции z f (x, y).

sin(xy)

Пр мер 4. Найти предел lim

.

вшись

y

СРешен е. Убед

x 3

y 0

, что функция не определена в предельной

точкеN0(3;0), делаем прео разования:

бА

sin x

lim

sin(xy)

lim x lim

sin(xy)

3 1 3, так как lim

1.

x 3

y

x 3

x 3

xy

x 0

x

y 0

y 0

y 0

Пр мер 5. Указать точки разрыва функции f (x, y)

x y

.

x y

x2 3y2

Решение.

Функция

f (x, y)

x

2 3y2

определена

на всей

непрерывна.

Пример 6.

Найти

и

исследовать

точки

разрыва

1

функции

f (x,y,z) x2 y22 z2 .

И

Решение. Для этой функции трёх переменных точки разрыва

лежат на конусе

x

2

y

22

z

2

Д

0, так как

знаменатель дроби не

должен равняться нулю.

Задачи для самостоятельного решения

1. Для

функции

f (x, y)

2x y

вычислить значения:

f (1;2),

x 2y

а) z x2 xy2 y3 1; б)

f (x,y) 2 x2 2y2 ;

в) z

2

;

г) z

1

;

2x

x2 y2

y

д) z

ln(x2 y)

;

е)

z arccos(x2

y2).

y x

3. Найти пределы функций двух переменных:

1

a

a2 xy

xy2

а) lim

; б) lim

; в) lim (1 2xy

xy

);

y 0

xy

y 1

sin(xy)

y 0

x 0

x 0

x 0

точки

xy2

г) lim

arctg2x3 y

; д) lim

.

Сx 2 ln(1 xy)

x 0

exy 1

y 0

y 2

4. Указать

ли линии разрыва функций:

бА

y2

а) z

2y

; )

z

x

y

; в) z

.

(x 1)2 (y 2)2

2x y

x2

4y2 4

5

Ответы

1.0; 5;

0;

4

.

2.

а) вся числовая плоскость;

б)

точки, лежащие

x2 2y2

внутри эллипса

2 и на этом эллипсе;

в)

вся плоскость

Oxy, кроме точек, лежащих на прямых y x;

г)

x 0; y 0 ;

д) y x ;

y 0

, x 0 ; е) круг x2

y2

1. 3. а)

1

; б) 1; в) e2 ; г) 8;

2a

д) 2. 4. а) одна точка разрыва (1; 2); б) линия разрыва – прямая

y 2x; линия разрыва – гипербола x2

4y2

4.

И

1.2. Частные производныеДи дифференциал функции

нескольких переменных

Частной производной по х функции

z f (x, y) называется

предел частного приращения xz

к приращению x при стремлении

x к нулю произвольным образом.

Частная

производная

функции z f (x, y)

по

аргументу

х

является обыкновенной производной функции одной переменной

х

при фиксированном значении переменной у и обозначается как

z

, zx ,

fx (x, y).

x

z

lim

f (x x, y) f (x, y)

.

x

x 0

x

Аналогично определяется и обозначается частная производная по

у от функции z f (x, y):

z

, или zy ,

или fy (x, y).

y

Знач т,

z

lim

f (x, y y) f (x, y)

.

y

x 0

y

у, а

y z

Замет в, что xz

вычисляется при постоянном

при

неизменном

х,

делаем

вывод,

что

правила вычисления

частных

С

производных совпадают с правилами, указанными для функций одной

переменной; только тре уется каждый раз помнить, по какой

переменной

щется про зводная.

Аналог чно

функцию

u f (x, y,z,...,t)

можно

ровать по каждому из её аргументов, считая при этом все

дифференц

остальные аргументы постоянными.

Если

функц я

z f (x, y)

имеет непрерывные

частные

производные в данной точке, а её полное приращение можно

представить в виде суммы

z

z

x z y 1 x 2 y (где величины

1 и

2

x

y

стремятся к нулю, когда x и

y

стремятся к нулю), то она

бА

называется

дифференцируемой в этой точке, а линейная часть

приращения называется полным дифференциалом и обозначается

dz fx (x,y)dx fy (x, y)dy.

В последнем

равенстве

дифференциалы

независимых

переменных

х

и у

равны

Д

т.е.

их

приращениям

x

и

y,

произведений

частных

производных

на

дифференциалы

соответствующих независимых переменных.

При достаточно малых

И

x и y полное приращение функции

относительно

x и y.

Если

поверхность задана

уравнением

F(x, y,z) 0

и точка

M0(x0,y0,z0) лежит на ней, то касательная плоскость к поверхности

в точке M0

определяется уравнением

(x x0)Fx (M0) (y y0)Fy (M0) (z z0)Fz (M0) 0.

Нормаль

к

поверхности

в

точке

M0(x0, y0,z0)(прямая,

проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной

дифференц

u

u

u

плоскости) определяется уравнениями

С

(x x )

(y y )

(z z )

0

0

0

.

Fx(M0) Fy(M0) Fz(M0)

Функц ю

мног х

переменных

u f (x, y,z,...,t)

можно

бА

ровать по каждому из её аргументов. Полученные

частные про зводные первого

порядка

x

,

y

, …,

t

обычно

зависят от тех же аргументов и каждую из них можно также

дифференцировать по каждому аргументу.

Пусть

в

уравнении

z F(u,v) переменные

u и

v

являются

функциями независимых переменных х и y:

u (x, y),v (x, y).

В таком случае z

Д

называется сложной функцией от аргументов х

и y.

Если

функции

двух

переменных

z F(u,v);

u (x, y),v (x, y)

имеют непрерывные частные производные по

всем своим аргументам, то производные сложной функции равны

z

F

u

F

v

;

x

u

x

v

x

z

F

u

F

v

.

y

u

y

v

y

Рассмотрим функцию двух переменныхИz f (x, y). Частные

производные

z

и

z

в

общем

случае

являются

функциями

x

y

переменных х и

y. Поэтому от них можно снова находить частные

производные.

z

z

2z

2z

у

С

х

z

х

х2

zхх;

у

уу;

у2

z

z

2

z

2

z

х

у

у

x y

z

ху ;

х

y x z

ух .

и