5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

первого порядка

методы их решения.

Д

уравнения первого порядка

С

с разделяющимися переменными

Теорема. Если функция

f1(x) непрерывна в интервале a;b ,

бА

функция f2 y и ее производная по

y непрерывна в интервале c;d ,

то для любых начальных данных

x0 a;b , y0 c;d

существует,

причем единственное, решение

y x

уравнения y

f1(x) f2(y),

удовлетворяющее начальному условию

x0 y0.

Д

Другими словами, при указанных условиях через любую точку

прямоугольника a x b;

c y d

проходит,

и притом

единственная, интегральная кривая уравнения.

Если f2 y 0, то уравнение y f1

(x) f2(y) можно переписать

в виде (разделить переменные)

И

Теорема. Если существуют интегралы

dy

и

f1 x dx, то

f2(y)

общий интеграл уравнения с разделенными переменными задается

уравнением

С

F2 y F1 x C,

–

некоторые первообразные

соответственно

где

F2

y

и

F1 x

функц й

1

f (x).

f2 y

1

Решен

д фференциального уравнения с разделяющимися

переменными можно выполнять по алгоритму:

1)

уравнен е содержит y ,

то надо заменить её на дробь

dy ;

бА

dx

2) затем раздел ть переменные;

если3) про нтегр ровать о е части полученного уравнения с

разделёнными переменными и записать его общий интеграл;

4) найти частный интеграл (или частное решение),

удовлетворяющий начальным условиям (если это требуется).

Однородные дифференциальные уравнения

первого порядка

Функция

f x, y

Д

называется

однородной

функцией

k -го

порядка, если при любом значении t имеет место тождество

f tx,ty tk

f x,y .

Например, g x, y 2x3 5xy2 –

И

однородная функция третьего

порядка, т.к.

g tx,ty 2 tx 3 5tx ty 2 2t3x3 5t3xy2

t3 2x3 5xy2 t3g x,y .

В

частности,

функция f x, y

называется

однородной

функцией нулевого порядка, если

при любом

t

справедливо

тождество

f t x;

t y f x, y .

Так, функция f (x,y)

3x y

является однородной функцией

x y

нулевого порядка, так как при любом t

справедливо тождество

f tx,t y

3tx ty

t(3x y)

f (x, y).

tx ty

t(x y)

y f x, y

Дифференциальное

уравнение

первого

порядка

называется однородным, если f x, y является однородной функцией

нулевого порядка.

Например,

дифференциальное

уравнение

первого

порядка

y

3x y

будет однородным.

x y

Замечан я:

y

f x, y

1. Д фференц альное уравнение первого порядка

С

функцию

f x,y можно представить как

является однородным,

функц ю только одного отношения переменных

f x, y g(

y

), т.е.

уравненеслие можно прео разовать к виду y g(

y

x

). Затем делаем

y t;y t x t

x

замену

и получаем

дифференциальное

уравнение

x

первого порядка с разделяющимися переменными: t x t g t .

2. Чтобы проверить, является ли дифференциальное уравнение

однородным уравнением,

нужно

в

этом

уравнении

заменить

x на tx,

y на ty.

Если после этого t

всюду сократится и получится

бА

первоначальное уравнение, то данное уравнение – однородное. Далее

вводим новую функцию t,

полагая y t x,y t x t. В результате

подстановки данное уравнение преобразуется к дифференциальному

уравнению первого порядка с разделяющимися переменными:

Дdt

t x t f t или x t f t t, или x

f t t.

dx

Разделив в уравнении переменные, получим

dt

dx

.

И

f t t

x

задача

с начальными значениями x0;y0

имеет единственное

Срешен е, т.е. существует единственное решение

y y x линейного

уравнен я

y p(x)y q x , удовлетворяющее начальному условию

Решен е л нейного дифференциального уравнения первого

Коши

порядка

скать

в виде произведения двух неизвестных

функц й от x:

y u(x) v(x).

Подставив значения

y и y

в линейное уравнение, получаем

будем

u (x) v(x) u(x) v (x) p(x) u(x) v(x) q(x).

После группировки двух членов вынесем в левой части

последнего уравнения общий множитель

v(x)(u (x) p(x) u(x)) u(x) v (x) q(x),

или

А

v(

du

p u) u

dv

q.

dx

dx

Выберем

функцию

u(x)

так, чтобы выражение в скобках

равнялось нулю

Д

Разделяя переменные в последнем дифференциальном

уравнении и интегрируя его, получим

И

Подставляя выражение найденной функции

u(x) в уравнение

v(

du

p u) u

dv

q

и

учитывая, что

du

p u 0,

получим

dx

dx

dx

u(x)

dv

q(x),

или

dv

q(x)

, откуда v(x)

q(x)

dx C.

dx

dx u(x)

u(x)

С

y u v

функции

u

и

v найденными

Заменив

в

равенстве

значениями,

получим искомое решение y u x v x,C

линейного

уравнен я.

y p(x)y yn q(x)

Уравнен е

Бернулли

отличается

от

подстановки

что в

линейного

фференц ального уравнения первого порядка тем,

правую часть вход

множителем некоторая степень y(n 0; n 1).

Методы решен я такие же, как и линейного. Посредством

бА

y u v

оно

также сводится

к

двум уравнениям с

разделяющ м ся переменными.

Рассмотренные выше типы дифференциальных уравнений

первого порядка можно классифицировать в виде табл . 5.1.

Таблица 5.1

1.Уравнения с разделяющимися

y f1 x f2 y

dy

= f1 x dx

переменными

f (y)

2. Однородные

уравнения

y

y

Дx x

первого порядка

y f

x

z x z;y x z ;

x

y z x z

3. Линейные уравнения первого

y P x y Q x

y u v;

порядка

y uxv uvx

4. Уравнения Бернулли

И

y P x y Q x y

y

u v;

y

v uv

u

Пример

1.

Найти

решение

уравнения

3y2 y 5 4x3

при

dx

dx

Интегрируя

обе

части

последнего

уравнения

3y2 dy 5 4x3 dx, или 3 y2

dy 5 dx 4 x3 dx,

y3

4x3

или 3

5x

C, т.е. y3 5x x4 C.

3

4

y0

Подставив начальное значение x0 1;

2, найдем константу

С

C = 4.

C: 8 5 1 C

, т.е.

ледовательно, искомый частный интеграл будет

y3 5x x4

4,

или x4 y3 5x 4 0.

Пр мер 2. Найти решение уравнения

и

y2

dx xydy 0.

x2

Решен е. Разрешая это уравнение относительно производной,

получ м

x2

y2 xy

dy

,

или,

так

как

dy

y ,

то

бАt dx t

dx

x2

y2

x

y

y

dx

y

xy

y

f (

x

). Следовательно,

уравнение

приняло

вид

x

y f (

y

)

является однородным уравнением первого порядка.

x

y

Затем

делаем

замену

t;y t x t

и получаем

x

дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

2Д

1

dt

1

t

x t

t

или

x .

Разделим переменные t dt

dx

и, интегрируя, найдём

t2

x

И

x

C.

ln

Исключая

вспомогательную

функцию

t

y

,

окончательно

1 y2

x

получим

ln

x

C – общий интеграл.

2 x2

y xy yln

x

Пример 3.

Найти частное решение уравнения

y

y

y

(1 ln

x

)

y

(1 ln

y

) f (

y

).

y

x

y

x

x

x

Затем,

полагая

t,y t x t ,

получаем дифференциальное

x

уравнение с разделяющимися переменными

dt

x t t(1 lnt) или x

dt

tlnt.

dx

dx

dx

Умножая обе его части на выражение

,

разделим

С

xtlnt

переменные

dt

dx

интегрируем обе части по своим переменным

бА

tlnt

x

d(ln x)

dx

; ln

lnt

ln

x

lnC;

lnt Cx.

иln x x

Возвращаясь к прежней функции y, находим общий интеграл

ln

y

Cx.

x

Подставив в найденное решение начальное условие, найдем

ln

e

C 1, т.е. lne C,

или C 1.

1

Д

Итак, искомый частный интеграл будет иметь вид

ln y x.

x

Пример 4. Найти частное решение уравнения xy y x3, если

y 1/2 при x 1.

Решение. Разделив все члены данного

уравнения

на x 0,

приведем его к виду y y

1

x2 , т.е. к линейному уравнению.

x

dv

du

Положим y u v, откуда y

u

v

.

dx

dxИ

Подставим эти значения в уравнение

dv

du

1

2

u

v

u

v

x

.

dx

x

dx

dv

du

u

2

u

v

x

.

dx

dx

x

Выберем функцию u так,

чтобы

выражение в

скобках

обратилось в нуль, т.е. чтобы

du

u

0.

dx

x

Тогда вторую функцию найдём из уравнения

переменными

dv

С u

x2 .

dx

с

разделяющимися

Решаем первое

уравнение

как

уравнение

(при u 0):

du

u

;

du

dx

.

dx

x

u

x

Интегр руя о е части уравнения, получим

du dx ,

или lnu ln x,