2.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1.Первообразная функция и неопределенный интеграл
Функцию |
y F x , заданную на промежутке |
X , |
называют |
|||||||||||
первообразной для функции y f x , заданной на том же промежутке, |
||||||||||||||
если для всех x X |
выполняется равенство F x f x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Напр мер, |
з |
определения |
следует, что функция |
F x |
x3 |
|
||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
является первообразной для функции f x x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||
|
, так как ( |
) |
|
. |
|
|
||||||||
С |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема. Если F1 x и F2 x |
– две первообразные для функции |
|||||||||||||
f x на отрезке a;b , то разность между ними равна постоянному |
||||||||||||||
числу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
.
Следовательно, если функция F x является первообразной для
функц f x , то лю ая другая первообразная для функции
имеет вид F x C, где C const.
Если функция F(x) является первообразной для функции
то выражение F x C называется неопределенным интегралом этой
функции и обозначается |
Д |
|||
f x dx F(x) C. |
При |
этом |
функцию |
|
f x называют подынтегральной функцией, |
знак |
|
знаком |
|
интеграла, x называется переменной интегрирования.
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность кривых, каждая из которых получается
называется интегрированием этой функции. Интегрированиеявляется операцией, обратной дифференцированию.
путём сдвига одной из кривых параллельно самой себе вдоль оси Oy.
Операция нахождения первообразной по её производной или неопределённого интеграла по заданной подынтегральной функции
Свойства неопределенного интеграла
1.Производная от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции:
30
|
|
|
f x dx |
|
|
|
|
|
f x . |
||
2. |
Дифференциал от неопределенного интеграла равен |
||||
подынтегральному выражению: |
|||||
С |
d f x dx f x dx . |
||||
3. |
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой |
||||
функц |
равен этой функции плюс произвольная постоянная: |
||||
|
|
d( f (x) f (x) C. |
|||
множитель |
можно выносить за знак интеграла: |
||||
4. |
Постоянный |
|
|||
kf (x) dx k f (x) dx (k – постоянная).
5. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или
нескольк х функц й равен алге раической сумме их интегралов: |
||||||||||||||||||||||||||||||
I. xndxТаблC, где n 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x) g(x) dx f (x) dx g(x) dx . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ца основных неопределенных интегралов |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xn 1 |
|
А |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||
II. |
ln |
|
x |
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
III. |
|
|
|
axdx |
|
C . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
IV. ex |
dx ex |
C . |
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||||||||
V. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
C . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 x2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
VI. |
|
|
dx |
|
arctgx C. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
VII. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
x2 a |
C . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
VIII. sin x dx cos x C . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
IX. cos x dx sin x C. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
X. |
|
|
dx |
|
|
|
tg x C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
31
XI. |
|
|
dx |
|
|
ctg x C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
XII. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 x2 |
|
2a |
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
XIII. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
arctg |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
a |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Интегралы этой таблицы принято называть табличными. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При |
выч слен |
|
|
|
неопределённых |
интегралов |
бывает полезно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
применять следующ е правила: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Если |
f |
x dx |
F |
(x) C, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ax dx a1 F(ax) C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
бА1 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
x dx |
F |
(x) C, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
f x b dx F(x b) C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Если f x dx F(x) C, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ax b dx a1 F(ax b) C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. Найти |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
33 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Преобразуем данный интеграл к табличному виду, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||
воспользовавшись действиями со степенями и таблицей интегралов: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
1 |
x |
3 |
dx |
1 |
|
3 |
x |
3 |
C |
1 |
3 |
x2 |
C. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
33 |
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 2. Найти ( |
2 |
|
|
|
|
6x 3x2 |
7)dx. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. Преобразуем данный интеграл к табличному виду, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
воспользовавшись свойствами 4 и 5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
2 |
|
|
|
|
6x 3x2 7)dx 2 |
|
dx |
6 |
|
xdx 3 |
x2dx 7 |
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2arctgx 6 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
7x C. |
|
|
|
|
И |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 3. Найти |
cos3xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Умножаем и делим интеграл на 3 и вносим множитель 3 под знак интеграла, затем под знак дифференциала:
32
cos3xdx 1 cos3xd(3x) 1sin3x C. 3 3
Пример 4. Найти (3 2x)7dx.
Решение. Заменив под знаком интеграла дифференциал dx на
выражение 1d(3 2x), получим табличный интеграл
2
(3 2x)7dx |
1 |
(3 2x)7 d(3 2x) |
1 |
|
|
|
(3 2x)8 |
C. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2x2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пр мер 5. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подынтегральную |
|
функцию |
|
на три |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решен е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
слагаемых, раздел в числитель на знаменатель. Затем выполним |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
преобразован я |
|
нтегрируем каждое слагаемое отдельно: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)dx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx 3 x |
|
|
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Разло3 жи3м |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2ln |
|
x |
|
|
|
x 1 |
3 |
|
x 2 |
C 2ln |
|
x |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
x |
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 6. Найти sin 3x 1 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Применим правило f ax b dx |
1 |
F(ax b) C и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin(3x 1)dx |
1 |
|
sin(3x 1)d(3x 1) |
|
1 |
cos(3x 1) C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 7. Найти ( |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x 5x4 6)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Разложим интегралДна алгебраическую сумму |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегралов и получим табличные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5x4 6)dx 2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x4dx 6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
3 x |
2 |
dx 5 |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2arctgx 2 |
|
x3 |
x5 |
6x C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
33