Дифференциальные уравнения занимают особое место в

математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре

С

наук. Исследования многих процессов приводят к построению

математических

моделей,

основой

которых

являются

дифференц альные

уравнения.

В дифференциальных

уравнениях

уравнен й

является

зучение

функций,

представляющих

собой

решен я эт х уравнен й.

В

этом

разделе

злагаются элементы

теории обыкновенных

альных уравнений, когда неизвестная функция зависит от

одной переменной.

дифференц

5. ДИФФЕРЕНЦИ ЛЬНЫЕ УР ВНЕНИЯ ПЕРВОГО

ПОРЯДКА

5.1. Основные понятия

Решение

различных

прикладных

задач

методом

математического моделирования сводится к отысканию неизвестной

функции

из

уравнения, содержащего

независимую переменную,

бА

искомую функцию и производные этой функции. Такое уравнение

называется дифференциальным.

Простейший пример дифференциального уравнения даёт задача

о нахождении первообразной

F(x) для

заданной функции

f (x),

Д

поскольку её можно рассматривать как задачу о нахождении функции

f (x).

F(x), удовлетворяющей уравнению F (x)

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида

n

0,

F x,y, y , ,y

где x–

независимая

y

И

переменная,

–

искомая функция и

y , y ,

, y n

– её производные.

Порядком дифференциального уравнения называется

порядок

высшей производной, содержащейся в данном уравнении.

Рассмотрим задачу нахождения функции, график которой

С

обладает тем свойством, что отрезок любой касательной,

заключенной между осями координат, делится пополам в точке

касания.

и

y

бА

B

M

y f x

x

0

P

A

Рис. 5.1

Пусть y f x –

Д

искомая функция, а M x, y

– произвольная

Так как,

по условию задачи, имеем BM MA,

то

OP PA x.

з

И

рис. 5.1

видно, что

tg PAM MP

, т.е.

tg

180

y

,

или

y

PA

x

tg

.

x

Учитывая, что по геометрическому смыслу производной

tg

есть угловой коэффициент касательной, который

в точкеM x, y

равен y , получаем дифференциальное уравнение

Проверим,

что решением является всякая функция видаy

C

,

x

где C – произвольная постоянная.

Подставляя функцию в уравнение, получим

C

C

C

C

x

, т.е.

.

x2

x2

x

x

ледовательно,

равенство

y

C

x

рис

функций,

определяет

множество

Собладающ х указанным в задаче

свойством.

Граф ки

этих

функций

представляют со ой семейство гипербол

(

. 5.2).

Д фференц альным

уравнением

первого порядка называется

уравнение

вида

Рис. 5.2

F x, y, y 0

в неявной форме

или

y f (x,y)

– разрешённое

относительно производной,

или

P(x, y)dx Q(x,y)dy 0 в дифференциальной форме.

Рассмотренный

выше

пример

показывает,

что

Д

дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное

множествобАрешений.

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться,

что функции

y 1/ x

C 1 ;

y 3/ x

C 3

являются решениями

уравнения y

y

.

x

Таким образом, каждому дифференциальному уравнению

удовлетворяет бесконечная совокупность его решений.

Всякое отдельно взятое решение дифференциального уравнения

называется его частным решением. С геометрической точки зрения

совокупность всех решений дифференциальногоИуравнения

представляет собой семейство кривых, называемых интегральными

кривыми, а каждое частное решение представляет отдельную

интегральную кривую.

общим

решением

Функция

y (x,C)

называется

дифференциального уравнения первого порядка, если при любом

значении C эта функция является решением уравнения

и любое его

частное

решение может

быть

получено

из

общего

решения

y x,C при некотором значении постоянной C.

В некоторых случаях получают решение дифференциального

уравнения в неявной форме, т.е. решение задается формулой вида

С

Ф x,y,C 0.

общим

интегралом

В этом случае оно называется

дифференциального уравнения.

При решен

конкретных задач часто необходимо выделить из

всей совокупности решений дифференциального уравнения то

начальнымизаданные ч сла, так е, что при x x0

и y y0 функция имеет смысл,

частное решен е,

которое является ответом на поставленный вопрос,

для этого задают так называемое начальное условие.

Для

д фференц ального

уравнения

первого

порядка

под

услов ями для его решения y y x

понимают условия,

бА

,где

x0 и

y0 –

состоящ е в том,

что y

y0

при x

x0

, т.е.

y x0

y0

т.е. существует

f x0, y0 .

Задача нахождения частного решения дифференциального

уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям,

называется задачей Коши.

В случае дифференциального уравнения первого порядка задача

Коши формулируется следующим образом:

найти решение y y x

y

f x, y ,

Д

уравнения

удовлетворяющее при заданных начальных

данных x0, y0

начальному условию

y x0 y0 , где x0, y0– заданные

числа.

x0 2;y0 3 и требуется найти

Пусть даны начальные данные

И

частное

решение

y y x

уравнения

y

y

,

удовлетворяющее

x

C

начальному

условию

y 2 3.

Подставим

в

функциюy

,

x

являющуюся решением данного уравнения,

начальные данные x 2;

y 3. Получаем,

что 3 C /2,

т.е.

C 6.

Таким образом,

искомым