Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1697

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

r r

2 1

;

1,1

4,4

7,7

10.10

5ab

r r

2 1

;

1,2

4,5

7,8

10,11

10a

r1,3 r4,6

r7,9

r10,12

2 1

;

10b

r r

2 1

;

1,4

7,10

r r

2 1

;

1,5

7,11

8,10

2,4

10a

r1,6

r9,10

r7,12

r3,4

2 1

;

10b

r r

2 1

;

1,7

4,10

5ab

r r

2 1

;

1,8

2,7

4,11

5,10

10a

r1,9

r3,7

r6,10

r4,12

2 1

;

10b

r1,10

r4,7

2 1

;

(3.132)

5ab

r1,11 r5,7

r4,8

r2,10

2 1 10a;

2 1

;

1,12

6,7

3.10

4,9

10b

r r

2 1

;

2,2

5,5

8,8

11,11

15a

2 1

r r

;

r r

;

2,3

5,6

8,9

11,12

2,5

8,11

15a

r r

2 1

;

2 1

;

2,8

5,11

30а

2,11

5,8

30a

r3,3 r6,6

r9,9

r12,12

3a 2 1 15b;

r r

2 1

;

2 1

;

3,6

9,12

30b

3,9

6,12

30b

2 1

;

3,12

6,9

15b

r r

2 1

4,4

7,7

10,10

5ab

Т	qab				b			a			b a		b			a		b			a
R			1						1			1					1					.
R	4		1						1			1			6		1					.
	4		6			6			6 6			6			6		6			6
																				(3.133)
T	F			b			a			b a				b a					b				a
R		1							1			1					1							.
R		1							1			1					1							.
	4 4					4			4 4			4 4					4						4
																				(3.134)

Для построения глобальной матрицы жесткости используется так называемая структурная матрица, в качестве которой используется матрица индексов. Использование такой матрицы позволяет учитывать не только различные условия закрепления пластины, но и отверстия, если таковые имеются на поверхности рассчитываемой пластины.

На рис. 3.17 показана схема рассматриваемой в данном примере пластины с нумерацией ее узлов и конечных элементов.

Рис. 3.17

Порядок матрицы индексов в общем виде содержит число столбцов, равных числу принятых для конечного элемента неизвестных (в данном случае 12), а число строк равно произведению числа неизвестных на число конечных элементов. Однако в таком виде матрицу индексов формировать нерационально.

Согласно принятому разбиению (см. рис. 3.17) на конечные элементы рассматриваемой пластины, порядок глобальной матрицы жесткости равен произведению числа степеней свободы одного узла конечного элемента (в данном случае 3) на число узлов в принятом разбиении на конечные элементы (в данном случае 25), что составило 75. С учетом условий закрепления рассматриваемой пластины, когда все ее грани защемлены, порядок глобальной матрицы жесткости снижается до 27.

Ниже приводится матрица индексов для пластины, изображенной на рис. 3.17.

В соответствии с приведенной матрицей индексов (табл. 3.1) элементы глобальной матрицы жесткости будут представлять собой сумму соответствующих элементов локальной матрицы жесткости. Так, например, для узла №12 некоторые элементы rs, глобальной матрицы жесткости будут представлять собой следующие суммы:

r*	rII	rIII	rVI	rVII		;	r*	rII	rIII	rVI	rVII			и т.д.
16,16	4,4	1,1	7,7	10,10			16,17	4,5	1,2	7,8	10,11
												Таблица 3.1

Номер	Индексы узловых перемещений в локальной системе координат i,j
конечн.	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10		11		12
эл-та	Индексы узловых перемещений в глобальной системе координат m,n
I	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10		11		12
II	4	5	6	13	14		15	16	17	18	7		8		9
III	13	14	15	19	20		21	22	23	24	16		17		18
IV	19	20	21	25	26		27	28	29	30	22		23		24
V	31	32	33	34	35		36	4	5	6	1		2		3
VI	34	35	36	37	38		39	13	14	15	4		5		6
VII	37	38	39	40	41		42	19	20	21	13		14		15
VIII	40	41	42	43	44		45	25	26	27	19		20		21
IX	46	47	48	49	50		51	34	35	36	31		32		33
X	49	50	51	52	53		54	37	38	39	34		35		36
XI	52	53	54	55	56		57	40	41	42	37		38		39
XII	55	56	57	58	59		60	43	44	45	40		41		42
XIII	61	62	63	64	65		66	49	50	51	46		47		48
XIV	64	65	66	67	68		69	52	53	54	49		50		51
XV	67	68	69	70	71		72	55	56	57	52		53		54
XVI	70	71	72	73	74		75	58	59	60	55		56		57

Анализ представленных сумм показывает, что они являются идентичными для всех внутренних узлов. Нижние индексы являются соответствующими индексами элементов локальной матрицы жесткости, а верхние соответствуют номерам конечных элементов, сходящихся в этом узле.

Сформированная таким образом глобальная матрица жесткости

R* rm*,n получается квазидиагональной.

Вектор-столбец RF* свободных членов от действия заданной внешней нагрузки в глобальной системе координат формируется по такому же принципу для каждого узла.

В результате решения любым известным способом системы линейных

			0 определяют значения
алгебраических уравнений R* Zk		RF*

элементов вектора Zk искомых перемещений для всех стыковых узлов конечных элементов рассчитываемой пластины. Индекс k соответствует порядку последней системы линейных алгебраических уравнений. В рассматриваемом примере для пластины, все грани которой защемлены, число k = 27.

Программная реализация изложенного алгоритма была реализована для пластины с размерами граней по 40 см и толщиной 1 см. Коэффициент

Пуассона = 0,3; а модуль			упругости Е = 2,1 106 кг/см2. Результаты
определения перемещений Zi			сведены в табл. 3.2, общим множителем к
данным которой является отношение				q a4	105 .
данным которой является отношение				D	105 .	Таблица 3.2
				D


			Перемещения
	Узлы	линейные	угловые		w	угловые	w
		линейные	угловые		x	угловые	y
					x		y
	1	50.23		6.26		6.26
	2	83.83		10.27		0
	3	50.23		6.26		6.26
	4	83.83	0			10.27
	5	140.33	0			0
	6	83.33	0			10.27
	7	50.23	6.26			6.26
	8	83.33	10.27			0
	9	50.23	6.26			6.26

По данным табл. 3.2 построено поле (эпюры) линейных перемещений (прогибов), представленное на рис. 3.18. Аналогичные эпюры можно построить и для угловых перемещений.

Определение значений внутренних усилий, изгибающих М и крутящих Н моментов в узлах, в которых стыкуются конечные элементы, осуществляют на основании известных формул из теории пластин.

Рис. 3.18

Применительно к МКЭ, когда найдены значения дискретных значений перемещений Zi, эти формулы для локальной системы координат принимают следующий вид:

для изгибающего момента Мх:

Мх D

Z1 +

xy Z3+

6 12

2 6

xy Z4

xy Z6 +

а3

а2b

a3b

a a2

a2b

Z7 +

Z9 +

xy Z10

a2b

a3b

xy Z

xy Z1

xy Z2 +

ab2

ab3

b ab

ab2

xy Z5 +

xy Z7 +

ab2

ab3

ab2

Z10 +

xy Z11

;

b ab

для изгибающего момента Му:

6 12

у D

xy Z1+

xy Z+

xy Z4

xy Z5

xy Z7 +

ab2

ab3

ab2

ab3

ab2

xy Z10

ab2

ab3

b ab

xy Z3

a2b

а3

а2b

а а

а2

a3b

xy Z6

Z7 +

xy Z9

a2b

a a

a2b

a3b

Z10

Z12

;

для крутящего момента Н:

Н D 1

1 4

Z2 +

ab2

a ab

b ab

ab2

ab3

ab2

ab a

a3b

Z7 +

a2b

ab2

ab3

a2b

a3b

ab2

a3b

a2b

ab a

Z10 +

Z11 +

Z12 .

В глобальной системе координат для каждого конкретного конечного элемента приведенные формулы принимают вид, соответствующий положению этого конкретного конечного элемента в пластине. Так, например, для конечного элемента I (см. рис. 3.17) эти формулы принимают следующий вид:

Мх D

xy Z1 +

xy Z

Z1 +

xy Z

6 12

М у D

x Z1

x Z

xy Z

3 .

a a

Z +

H D 1

1 4

Z2 +

a ab

Аналогично можно получить выражения для построения эпюр поперечных сил Qx и Qy.

На рис. 3.19, учитывая симметрию, показаны значения изгибающих моментов для четверти рассматриваемой пластины.

Рис. 3.19

После построения эпюр внутренних усилий и перемещений можно приступать к определению напряжений и конструированию пластины.

4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН

4.1.Пластины при совместном действии поперечной нагрузки

инагрузки в срединной плоскости

В случае действия на пластину и поперечной нагрузки, и сил, расположенных в срединной плоскости, в дифференциальное уравнение С.Жермен войдут члены, учитывающие влияние этих сил. Обозначим

напряжения в срединной плоскости через x0, 0y, xy0 .

Усилия в срединной плоскости, приходящиеся на единицу длины сечения, будут определяться известными произведениями

Nx h x0 ;

Ny h y0;

Txy Tyx h xy0 .

(4.1)

Примем, что прогиб w(x,y) мал, а произведение сил, лежащих в срединной плоскости, или их производных на производные от w(x,y) будут величинами того же порядка, что и производные от поперечных сил Qx и Qy . Напряжения изгиба в пластине и внутренние усилия определяются по

формулам, приведенным в предыдущих разделах настоящего пособия. Рассмотрим показанное на рис. 4.1 равновесие элемента пластины со

сторонами dx и dy.

Рис. 4.1

Сумма проекций на ось ox сил Nxdy и

dx dy равна

X Nx

dx dycos ' Nxdycos .

(4.2)

Учитывая, что '

dx,

cos 1 sin2

0,5

sin2

... 1

...

1 и cos 1.

Для малого

угла

величина

меньше

Соответственно cos ' 1.

Выражение (4.2) тогда принимает вид

X Nx dxdy.

(4.3)

Согласно изложенному уравнения равновесия на осях ox, oy принимают следующий вид:

		Nx
	X

		x

Y Tyxx

Для малых углов и '

Txy 0;y

Ny 0.y

(4.4)

имеем sin w;

sin ' '

dx.

Проекции сил

Nxdy

dx dy на ось

oz дают

результирующую, которая описывается выражением

dx dy

dxdy

dxdy.

(4.5)

Пренебрегая

членами

высшего

порядка малости,

получим

результирующие проекции

сил

dy dx на

ось oz,

которая будет равна

dxdy

dxdy.

(4.6)

Txy

Найдем проекции сил T

dx dy на ось oz (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Прогиб в точке О равен

w. Прогиб в точке B

равен w

dy.

Кромка O B повернута вниз под углом

к оси oy.

Таким же образом

кромка A C повернута под углом

dx к оси oy.

x y

Txy

Поперечные силы T

и T

dx dy на ось oz дают проекции

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.57 Mб191692.pdf
#
07.01.20211.57 Mб111693.pdf
#
07.01.20211.58 Mб201694.pdf
#
07.01.20211.58 Mб81695.pdf
#
07.01.20211.58 Mб271696.pdf
#
07.01.20211.58 Mб201697.pdf
#
07.01.20211.58 Mб321698.pdf
#
07.01.20211.59 Mб91699.pdf
#
07.01.2021201.28 Кб1217.pdf
#
07.01.2021324.32 Кб4170.pdf
#
07.01.20211.59 Mб171700.pdf