Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1697

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Txy

x y

Txy

dxdy

dxdy.

x y

Tyx

(4.7)

Сумма проекций сил T

и T

dy dx на ось oz будет равна

Tyx

dxdy

Tyx

dxdy.

x y

(4.8)

Суммируя проекции всех сил на ось oz и сокращая на dxdy , получим

2Txy

x y

Txy

Tyx

(4.9)

Учитывая, что выражения в скобках равны нулю, получим

q Nx

2 2Txy

. (4.10)

x y

Уравнение (4.10) является основным уравнением для расчета пластины, находящейся в условиях совместного действия поперечной нагрузки q и сил, лежащих в срединной плоскости.

4.2.Устойчивость шарнирно опертых прямоугольных пластин при равномерном сжатии в одном направлении

Рассмотрим пластину при действии на нее сжимающих усилий, лежащих в срединной плоскости (рис. 4.3).

При некотором значении сжимающих сил Nx плоская форма равновесия становится неустойчивой и пластина начнет выпучиваться.

Рис. 4.3

Примем, что пластина имеет шарнирное опирание по контуру и сжата равномерно распределенными силами Nx, действующими вдоль граней с координатами x 0 и x a.

В этом случае Nx const и Ny Txy q 0.

Уравнения равновесия (4.4) выполняются, а уравнение (4.10) принимает вид

D 4w Nx x2w2 0.

(4.11)

Функцию прогибов задаем в виде двойного ряда

m x

n y

w x, y Amn sin

sin

(4.12)

m 1n 1

Граничные условия на гранях пластины x 0;

x a и

y 0;

y b

для принятой функции выполняются.

Подставляя (4.12) в уравнение (4.11), получим

n2 2

m x

n y

Amn sin

sin

m 1n 1

(4.13)

Полученное уравнение (4.13) имеет два решения. Первое решение, когда Amn 0. Тогда прогибы w 0. Однако это решение не удовлетворяет условию задачи, т.к. мы ищем функцию прогибов, отличную от нуля.

Второе решение имеет место при Amn 0. Тогда в (4.13) выражение в квадратной скобке должно быть равно нулю:

	4	m2		n2		2			2	m2
D							N	x				0.	(4.14)
			2		2						2
				b						a
		a

Из условия (4.14) следует, что

			2	m2				n2		2
		D																2
		D				2			2			2					2
						2		b	2			2		D mb		n	2
				a				b						D mb		n		a
N	x																		.
N							2						2						.
					m		2				b		2		a
					m						b				a	mb
					a2

(4.15)

Это решение отвечает выпучиванию пластины. Из выражения (4.15) следует, что значение сил Nx будет наименьшим при n 1. Отсюда следует вывод о том, что при выпучивании пластины может образовываться несколько полуволн в направлении сжатия, и только одна полуволна – в поперечном направлении oy.

Критическая

нагрузка

Nx кр,

при

которой

происходит потеря

устойчивости пластины, равна

Nx кр

2D mb

a 2

(4.16)

где K

Наименьшее значение Nx кр

имеет место при условии

d Nx

кр

2 2D mb

(4.17)

Отсюда следует следующее равенство: mb 1. a

Рис. 4.4	4 2D
Минимальное значение критической нагрузки Nx кр		.

	b2

При определенных значениях m величина K зависит от отношения a . На рис. 4.4 показаны значения K в зависимости от a для m = 1, 2, 3, 4,

Используя полученные кривые, можно определять величину

критической нагрузки и число полуволн при любом отношении a . При b

значении a 2,5 находим K = 4,133 и m = 3. Это показывает, что b

выпучивание пластины сопровождается образованием трех полуволн в направлении действия нагрузки. Критическая нагрузка при этом равна

Nx кр	4,133	2D	.

		b2

4.3. Устойчивость свободно опертой пластины, сжатой в двух направлениях

Рассмотрим прямоугольную пластину, сжатую в двух взаимно-

перпен-дикулярных направлениях (рис. 4.5).		В	этом	случае	Txy 0;
Nx const;	Ny const. Полагаем,	что	края	пластины	имеют

шарнирное опирание.

Решение уравнения (4.11) снова будем искать в виде двойного ряда

			m x		n y
w Amn sin				sin		.
			a
m 1n 1					b
				(4.18)
Выбранная функция w(x,y)	удовлетворяет			граничным условиям на
гранях пластины при x 0; x a;	y 0;	y b.

Рис. 4.5

Подставляя (4.18) в уравнение (4.11), получим

m x

n y

Amn

0.(4.19)

sin

m 1n 1

Условие Amn 0 возможно в случае, если

D 4

n2 2

(4.20)

Из уравнения (4.20) следует

2 D

(4.21)

Рассмотрим частные случаи:

а) Nx Ny N;

Nx кр

n2 .

кр

Наименьшая критическая сила будет при m=1; n=1:

Nкр

1 .

Пластина

при

этом

будет

терять

устойчивость по форме

w x, y A

sin

Для квадратной пластинки при a b Nкр

;

б) если сжимающие нагрузки возрастают пропорционально одному

параметру Nx

Ny N,

то критическая нагрузка будет равна

Nкр

mb 2

(4.22)

При соотношении сторон a b

наименьшее значение критической

силы равно Nкр

, где C

При разных соотношениях a и каждого число n следует выбирать b

из условия минимума С, как это делалось для пластины, сжатой в одном направлении;

в) если пластина сжата в одном направлении ox и растянута в другом

направлении oy, то Txy 0; Nx const;	Ny const.
Уравнение (4.11) принимает вид

n2 2

(4.23)

При Nx Ny получаем критическую нагрузку

кр 2D

m 2

n 2

(4.24)

Для квадратной пластины a b

Nкр

2D m2 n2 2

b2 m2 n2

(4.25)

Наименьшее значение возможно при m = 1, а n необходимо

подобрать так,

чтобы Nкр

было

наименьшим. Так, при потере

устойчивости пластины по форме

w x, y A

sin

2 x

sin

критическая

сила

равна

n = 1)

25 2D

кр

(4.26)

Во всех случаях для пластин с конечным отношением сторон при растяжении в направлении одной из осей увеличивается критическая сила

внаправлении другой оси.

4.4.Устойчивость прямоугольных пластин при сдвиге

Критическую нагрузку для пластины (рис. 4.6) под действием касательных усилий Txy , равномерно распределенных вдоль кромок,

определим энергетическим методом.

Рис. 4.6

Предполагаем, что пластина подвергается действию малых возмущений, вызывающих выпучивание. При переходе от одной равновесной формы к другой полная энергия не изменяется, т.е. работа усилий в срединной плоскости равна энергии изгиба, накопленной в пластине.

Найдем деформацию сдвига, сопровождающую изгиб пластины (рис.

4.7).

Рис. 4.7

Определим направляющие косинусы l1, m1, n1 и l2 , m2 , n2 для элементов O1A1 и O1B1:

2 0,5

;

m1 0;

;

l2 0;

0,5

dy 2

(4.27)

1w 2

1 2 y ;

Деформация сдвига будет равна

														cos A O B
xy			A O B				sin				A O B
		2	A O B				sin		2		A O B
		2			1 1 1				2	1 1 1				1 1 1
	l l				m m		n n				w	w	.
	l l				m m		n n						.
		1		2	1	2	1	2			x y

(4.28)

Работа касательных усилий Txy Tyx равна

a b	w	w
W Txy			dxdy.

0 0	x y

(4.29)

Потенциальная энергия изгиба пластины описана выражением (3.7). Согласно принципу Лагранжа при выпучивании пластины полная

энергия П должна соответствовать условию П U W 0.

Рассмотрим шарнирно опертую пластинку. Функцию прогибов, удовлетворяющую условиям, принимаем в виде (4.18).

Подставим принятое выражение (4.18) в (4.29). Вычислим соотношения:

a	m x		p y
sin		sin		dx 0, если m p – четное число;
	a
0			b

m x

p y

, если m p – нечетное число.

sin

m2 p

После интегрирования получаем

W 4Txy Amn Apq

mnpq

(4.30)

p2 q2

m n p q

где m, n, p, q – такие индексы, для которых m p и n q будут нечетными числами.

Потенциальная энергия выпученной пластины U после интегрирования примет вид

	D 4ab		m2		n2 2
		2
U		Amn		2	b	2 .
2 4		m 1n 1	a		b

(4.31)

Выражение энергии П принимает вид

D 4ab

n2 2

Amn

m 1n 1

4Txy Amn Apq

mnpq

(4.32)

m2 p2

m n p q

Определим критическое значение Txy. Для этого необходимо найти такие параметры Amn , чтобы П была минимальной, т.е. должно

соблюдаться условие

Amn

Продифференцировав полную энергию, получим

D 4ab

mnpq

8Txy Apq

Amn

p q

(4.33)

где p и q должны быть такими, чтобы m p, n q были нечетными числами.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.57 Mб61692.pdf
#
07.01.20211.57 Mб41693.pdf
#
07.01.20211.58 Mб71694.pdf
#
07.01.20211.58 Mб01695.pdf
#
07.01.20211.58 Mб121696.pdf
#
07.01.20211.58 Mб121697.pdf
#
07.01.20211.58 Mб101698.pdf
#
07.01.20211.59 Mб31699.pdf
#
07.01.2021201.28 Кб517.pdf
#
07.01.2021324.32 Кб0170.pdf
#
07.01.20211.59 Mб91700.pdf