Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1697

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

при y 0;				y b		w 0;
	w	y 0	0	;	w	y b 0.

	y				y

Для коэффициента Cij после вычислений получаем

C	qa4		1		.
C	4D 4	a 4		a 2	.
11	4D 4	a 4		a 2
		3 3		2
		3 3		2
		b		b

(3.49)

Для квадратной пластины (a b; 0,3)

w 0,0140 qa4 .
max	Eh3

(3.50)

Если прямоугольная пластина загружена сосредоточенной силой F , расположенной в центре, то наибольший прогиб будет

w 0,0593 Fa2 .
max	Eh3

(3.51)

3.Две грани защемлены, а две другие шарнирно оперты.

Рассмотрим прямоугольную пластину, края которой x 0; x a

защемлены, а два края y 0; y b шарнирно оперты (рис. 3.8). Функцию прогибов в первом приближении задаем в виде

				w C		x2 x a 2 sin		y	.
				w C		x2 x a 2 sin			.
				11				b
		(3.52)						b
		(3.52)
Геометрические граничные условия на кромках при x 0;							x a:
	w			y
	w			y
w 0;			x 0,x a С11sin		2x x a 2 2x2 x a 0.
w 0;	x			b
	x			b
							(3.53)

Рис. 3.8

Как видно, геометрические граничные условия на кромках пластины выполняются.

После интегрирования находим значение коэффициента

C11 0,3072 q .

Функция прогибов имеет вид

w 0,3072 qa4 x2 x a 2 sin y .

D b

(3.54)

Прогиб в центре пластины

w	w	x a	2,x b		0,0192	qa4	.


max				2		D

(3.55)

Полученное значение wmax совпадает с решением по методу Фурье. Зная выражение функции прогибов во всех приведенных случаях, можно найти M x , M y , H , Qx , Qy в любой точке пластины, а также

напряжения x , y , xy.

3.5. Метод Бубнова-Галеркина

Как было ранее отмечено, из вариационного уравнения Лагранжа при выполнении геометрических и статических граничных условий следует уравнение

4w q 0.

(3.56)

По методу Б.Г. Галеркина [6] функцию перемещений w x, y задаем в виде

m n

wmn Cij fi x j y , i 1 j 1

	(3.57)
где Cij – коэффициенты, подлежащие определению; fi x ,	j y –

функции, удовлетворяющие геометрическим и статическим условиям на гранях пластины.

Подставляя w x, y в уравнение (3.56), получаем функцию - "невязку", отличную от нуля:

4wmn q Ф xy 0.

Требуя, чтобы работа "невязки" на возможных перемещениях fi x ,j y по всей площади пластины равнялась нулю, получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов Cij .

a b

y dxdy 0.

0 0

(3.58)

Число линейных уравнений равно m n.

функций fi x ,

j y

При удачном выборе аппроксимирующих

можно ограничиться одним членом ряда

w Cij fi x j y .

(3.59)

Подставляя (3.59) в (3.58), получаем одно уравнение для определения параметра Cij :

a b

x j y dxdy 0.

4 2

0 0

После упрощений имеем

			q a		b
				fi x dx j y dy
			D	fi x dx j y dy
Cij				0	0
Cij	a	b		a	b	y j y dy
	fi IV x fi x dx j2 y dy 2 fi x fi x dx j					y j y dy
0		0		0	0

a b

fi2 x dx j y IVj y dy

(3.60)

d2 fi

4 fi

d2 j

d4 j

где fi

; fi

;

; j

dx2

dx4

dy2

dy4

После определения Cij

находим

функцию прогибов w x, y . Тем

самым можем найти внутренние усилия и напряжения в любой точке пластины.

Рассмотрим несколько примеров расчета пластины методом Бубнова-Галеркина.

1. Пластина, шарнирно опертая по всем граням, нагружена равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 3.9).

q=const

Рис. 3.9

Граничные условия опирания:

x 0:	w 0;	Mx				2w
			0	;				0;

						x2
	w 0;	Mx			2w
x a:			0;					0;

					x2
							(3.61)
y 0:	w 0;	My	0				2w
				;				0;

						y2

y b:	w 0;	My	0			2w
				;			0.

					y2

Функцию прогибов задаем в виде

wij Cij sin i x sin j y . a b

(3.62)

Найдем значения wij и ее вторых производных на гранях пластины:

x 0:

wij Cij

sin

i 0

sin

j y

;

2wij

i x

j y

Cij

sin

;

2wij

x 0 0;

x a:

wij Cij

sin

i a

sin

j y

;

2wij

i a

j y

(3.63)

Cij

sin

i x

j 0

y 0:

wij

Cij

sin

;

2wij

i x

j y

sin

;

y 0 0;

y b:

wij

Cij

sin

i b

;

2wij

i x

i y

Cij

sin

Таким образом, функция w x, y ij удовлетворяет на гранях пластины

и геометрическим, и статическим граничным условиям. Вычисляя производные функций fi x и j y , получим

i 2

i 4

sin

;

sin

;

j 2

j 4

(3.64)

sin

;

sin

После подстановки производных в (3.60) и интегрирования получаем

Cij

16 qa4

sin

i x

sin

j y

(3.65)

Функция прогибов при удержании в ее разложении одного члена ряда примет вид

wij

16 qa4

i x

j y

sin

(3.66)

Поскольку система линейных уравнений (3.58) распадается по отдельным гармоникам, то, удерживая в разложении (3.57) m членов ряда в направлении x и n членов ряда в направлении y , для функции прогибов получим

16 qa

m n

sin

i x

sin

j y

wmn

D i 1 j 1

(3.67)

Функция прогибов, полученная по методу Галеркина, совпадает с выражениями w x, y , полученными по методу Фурье и методу Ритца.

Функция, которая в методе Бубнова-Галеркина удовлетворяет только геометрическим граничным условиям, не всегда приводит к точному решению.

Зададим функцию прогибов в виде

w C11x x a y b y,

(3.68)

где при вычислении С11 по формуле (3.60)


f1 x x a x;	f1II x 2x a;		f1IV x 0;
1 y y b y;		1II y 2y b;		1IV y 0.

Эта функция удовлетворяет на контуре пластины только геометрическим граничным условиям:

x 0:

w 0 0 a y y b 0;

M x

2 0 a 0;

x a:

w a a a y y b 0;

2 а a 0;

(3.69)

y 0:

w x x a 0 0 b 0; M y

x x a 2 0 b 0;

y b:

w x x a b b b 0;

M y

x x a 2b b 0.

Определяем C11 по формуле (3.60):

C11

qa2b2

a2b2

24D

(3.70)

Прогиб пластины определяется

w x, y

qa2b2xy x a y b

a2b2

24D

(3.71)

Определим максимальный прогиб для центра квадратной пластины,

если b a;

x a

2; y b

wmax 0,00356qa4 .

(3.72)

Полученный результат отличается от точного решения на 12,8 %. Очевидно, что выражение (3.68) не подходит для решения данной

задачи, т.к. не выполняются статические граничные условия.

2. Пластина, защемленная по контуру.

Рассмотрим пластину под действием равномерно распределенной нагрузки q, грани которой защемлены (рис. 3.10).

q=const

Рис. 3.10

Приближенное выражение прогибов выражаем в виде ряда

	m n				2i x			2j y
	wmn Cij 1 cos					1 cos				;

	i 1 j 1				a				b
								(3.73)
fi	x 1 cos	2i x	;	j y 1 cos			2 j y		.
		a
							b

Граничные условия на кромках пластины:

m n

2i 0

2j y

x 0:

wmn Cij

1 cos

i 1 j 1

m n

2i a

2j y

x a:

wmn Cij 1 cos

1 cos

i 1 j 1

m n

i x

2j y

Cij sin

1 cos

;

i 1 j 1

wmn

m n

i a

2j y

x a

Cij

sin

1 cos

i 1 j 1

wmn

m n

i 0

2j y

x 0

Cij

sin

1 cos

0; (3.74)

i 1 j 1

m n

2i x

2j 0

wmn

y 0

Cij

1 cos

i 1 j 1

m n

2i x

2j b

wmn

y b

Cij

1 cos

i 1 j 1

wmn

m n

2j 0

2i x

y 0

Cij

sin

1 cos

i 1 j 1

wmn

m n

2j b

2i x

y b

Cij

sin

1 cos

i 1 j 1

Таким образом, геометрические граничные условия на кромках

пластины выполняются.

Для определения коэффициентов Cij

необходимо решить систему

уравнений (3.74).

В первом приближении принимаем

2 x

2 y

1 cos

;

2 x

2 y

(3.75)

f1 x 1 cos

;

1 y 1 cos

Используя (3.60), находим

fi x dx j y dy

Cij

fiIV x fi x dx j2 y dy 2 fi x fi x dx j y j y dy

fi2 x dx j y IVj

y dy

(3.76)

2 x

2 y

где fi

sin

;

j y

sin

;

2 2

2 x

2 y

cos

;

cos

;

2 x

2 y

fiIV x

cos

;

IVj

cos

Подставляя выражение производных функции в C11 и проводя интегрирование, получаем

C	qa4		1			.

			a2
11	4 6D				a4
		3 2		3
			b2		b4

(3.77)

Функция прогибов принимает вид

2 x

2 y

qa4

1 cos

4 6D

3 2

(3.78)

Максимальный прогиб в центре квадратной пластины x a2, y b2:

qa4

wmax 8 6 D .

Полученное значение совпадает с решением, полученным по методу Ритца.

3.6. Метод Канторовича-Власова

Л.В. Канторович [7] предложил метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла, что позволило двумерную задачу свести к одномерной.

В.З. Власов [8] метод Канторовича применил к решению задачи об изгибе пластин.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.57 Mб61692.pdf
#
07.01.20211.57 Mб41693.pdf
#
07.01.20211.58 Mб71694.pdf
#
07.01.20211.58 Mб01695.pdf
#
07.01.20211.58 Mб121696.pdf
#
07.01.20211.58 Mб121697.pdf
#
07.01.20211.58 Mб101698.pdf
#
07.01.20211.59 Mб31699.pdf
#
07.01.2021201.28 Кб517.pdf
#
07.01.2021324.32 Кб0170.pdf
#
07.01.20211.59 Mб91700.pdf