1697

Из уравнения (3.106), учитывая, что вариации z2 произвольны, определяем Ri :

12

Ri ziKij . j 1

(3.113)

Связь между узловыми усилиями элемента и перемещениями

получаем в матричной форме

R K z ,

(3.114)

где R – вектор-столбец узловых усилий; K – матрица жесткости конечного элемента пластины; z – вектор-столбец узловых перемещений.

Коэффициенты Ki, j матрицы жесткости представляют собой усилия в направлении iот единичного перемещения в направлении j. Для всех узловых точек необходимо составить уравнение равновесия.

В уравнение равновесия войдут эквивалентные внешние силы и внутренние усилия Ri .

Согласно принципу возможных перемещений работу, совершаемую узловыми эквивалентными силами на возможных узловых перемещенияхzi , приравняем работе внешней нагрузки q x,y на перемещении w.

Для определения узловых сил Fi имеем уравнение

12

где w i zi .

j 1

Из выражения (3.115) следует

a b

Fi q x, y idxdy.

0 0

(3.116)

В случае если в пределах элемента q xy q= const, получаем

71

Чтобы определить узловые перемещения zi для каждого узла, составляем уравнения равновесия. В эти уравнения входят усилия Ri и эквивалентные узловые нагрузки Fi . Внутренние усилия Ri связаны с узловыми перемещениями zi . Полученные соотношения для Ri и Fi относятся к отдельному элементу в местной системе координат. Для определения матрицы внутренних усилий R всей пластины необходимо найти матрицу жесткости всей пластины K , а это возможно путем перехода от местной к общей системе координат.

Это выполняется с помощью матрицы индексов.

Решая систему уравнений, определяем узловые перемещения zi и функцию w. По известным соотношениям определяем внутренние усилия в пластине и напряжения.

Для пластины методом конечных элементов создано множество стандартных программ, составление которых представляет значительные математические трудности. Для решения простых задач изгиба пластин целесообразно применять вариационные методы. Метод конечных элементов рационально применять для решения задач изгиба пластин со сложными конфигурациями (подкрепления, отверстия) и сложными граничными условиями (частично свободный край, неоднородные условия закрепления).

3.8. Пример расчета пластины, работающей в упругой стадии, методом конечных элементов

Рассмотрим работу прямоугольной (рис. 3.15) пластины, защемленной по всем четырем ее граням. Поверхность пластины разбита на шестнадцать конечных элементов, имеющих форму прямоугольника со сторонами

а и b.

Рис. 3.15

73

В соответствии с принятыми в настоящем пособии положениями будем считать, что каждый конечный элемент имеет двенадцать степеней свободы – по три в каждом узле (рис. 3.16). Для данного примера примем обход узлов против хода часовой стрелки, а начало локальной системы координат хоу – в узле, совпадающем с началом этой системы координат.

Примем за положительные такие направления векторов углов поворота, при которых они вращаются против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления рассматриваемой оси. При этом учитывались известные дифференциальные зависимости

wх w и y x .

y

у

х

0

Рис. 3.16

Из анализа рис. 3.16 следует, что принятый прямоугольный элемент имеет двенадцать степеней свободы и поэтому в качестве аппроксимирующей функции, описывающей поверхность прогибов срединной поверхности конечного элемента, можно принять выражение

(3.96).

Коэффициенты в выражении (3.96) можно находить с помощью функций Эрмита так, как это показано в предыдущем подразделе. Однако такой приём определения коэффициентов не является единственным. Рассмотрим прием, в соответствии с которым приравняем выражение (3.96) соответствующему перемещению zi (i 1,...,12), учтя координаты расположения каждого перемещения, и найдем коэффициенты , выраженные через перемещения z. При этом перемещения z1,z4,z7 и z10 представляют собой линейные вертикальные перемещения (см. рис. 3.16) из плоскости конечного элемента, а остальные – угловые перемещения соответственно в каждом из четырёх узлов относительно осей х и у.

74

перемещениями, взять первые частные производные от выражения (3.96) по координатам х и у соответственно.

Тогда система уравнений относительно коэффициентов примет вид

z1 1; z2 3;

z3 2;

z4 1 2a 4a2 7a3; z5 3 5a 8a2 11a3;z6 2 2 4a 3 7a2;

z7 1 2a 3b 4a2 5ab 6b2 7a3 8a2b

z8 2 2 4a 5b 3 7a2 9b2 3 11a2b 12b3;

z9 3 5a 2 6b 8a2 2 9ab 3 10b2 11a2 3 12ab2; z10 1 3b 6b2 10b3;

z11 2 5b 9b2 12b3; z12 3 2 6b 3 10a2.

Из анализа полученной системы (3.123) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных, которыми являются искомые коэффициенты , очевидно, что она распадается на ряд независимых систем уравнений. Так, первые три из них сразу определяют значения через перемещения z. Четвёртое и шестое представляют собой систему уравнений второго порядка относительно искомых 4 и 7, а десятое и двенадцатое – аналогичную систему относительно 6 и 10 соответственно. После подстановки найденных значений в оставшиеся уравнения можно найти остальные значения . Определённые таким образом коэффициентыпредставлены в выражениях (3.124).

После подстановки найденных значений коэффициентов в аппроксимирующую функцию поверхности прогибов (3.96) она принимает вид выражения (3.125).

Проведя в этом выражении раскрытие скобок и группировку слагаемых относительно перемещений z, получают выражение, с помощью

75

которого ведётся дальнейший расчёт пластины. В выражении (3.126) символом Ф обозначены коэффициенты, являющиеся функциями координат х и у и стоящие перед неизвестными перемещениями z. Они приведены в системе выражений (3.127).

Используя выражение (3.127), представляющее собой функцию прогибов конечного элемента, можно находить параметры матрицы жёсткости. Для этого запишем выражение (3.107), развернув в нём дифференциальный оператор Лапласа ( 2w) второго порядка.