1697

или, используя оператор Лапласа, сокращенно

4w q .

D

(2.13)

Уравнение (2.13) изгиба жестких пластин, которое играет фундаментальную роль в теории изгиба пластин, носит название уравнения С.Жермен-Лагранжа. Уравнение (2.13) по физическому смыслу представляет собой неоднородное бигармоническое дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных.

При заданной функции нагрузки q(x,y) путем интегрирования находится функция прогибов w(x,y). Появляющиеся при интегрировании уравнения (2.13) постоянные определяются из граничных условий.

2.3. Граничные условия на контуре пластины

На контуре пластины в зависимости от вида закрепления ее граней могут быть известны прогибы, углы поворота срединной поверхности, а также изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы.

Условия, при которых на контуре известны прогибы и углы поворота,

называются геометрическими.

Если на контуре известны усилия, то условия называются

статическими.

21

Если на контуре одновременно известны перемещения и усилия, то условия называются смешанными.

На каждой грани должны быть заданы два граничных условия. Рассмотрим прямоугольную пластину (рис. 2.2) и сформулируем

граничные условия для различных закреплений ее кромок.

Рис. 2.2

1. Шарнирно опертая грань.

Если грань пластины может свободно поворачиваться, то ее называют шарнирно опертой. Пусть грань с координатой x = 0 шарнирно оперта. Прогиб и изгибающий момент вдоль грани должны быть равны нулю:

(2.14)

Полагая, что грань с координатой x = 0 остается прямолинейной, получаем

(2.15)

Следовательно, граничные условия для шарнирно опертого края имеют вид

(2.16)

Если шарнирно опертая грань имеет координату x = a, то

22

Если шарнирно опертая грань имеет координату y = 0, то

(2.18)

Если шарнирно опертая грань имеет координату y = b, то

2. Защемленная грань.

Если грань с координатой x = a защемлена, то прогиб и угол поворота равны нулю:

3. Грань, свободная от закрепления.

Если грань с координатой x = a не имеет опирания, то изгибающие моменты, крутящие моменты и поперечные силы равны нулю (рис. 2.3):

(2.22)

Г.Р. Кирхгофф показал, что для определения w, удовлетворяющего уравнению (2.13), достаточно двух граничных условий [3]. Третье условие можно не учитывать из физических соображений.

23

Указанное противоречие происходит из допущения, что нормаль к срединной плоскости до изгиба переходит в нормаль к срединной поверхности после изгиба. Если не пользоваться этим допущением, то получим дифференциальное уравнение изгиба пластины шестого порядка, при этом могут быть удовлетворены все три граничные условия.

Рис. 2.3

Чтобы избежать противоречий при составлении граничных условий, по замечанию Г.Р. Кирхгоффа два условия для Н и Qx заменяют одним. Крутящий момент, действующий на элемент кромки пластины, заменяют двумя статически эквивалентными силами Qэкв. Эти две силы рассматриваются вместе с вертикальными поперечными силами. Такая замена оказывает влияние на распределение напряжений в непосредственной близости к кромке. На остальной части пластины согласно принципу Сен-Венана распределение напряжений остается без изменений.

На элемент dy действует крутящий момент Н. Этот момент можно заменить двумя вертикальными силами, равными Н и действующими на расстоянии dy. Для соседнего элемента dy крутящий момент будет

H

равен H dy dy.

y

Этот момент можно представить в виде вертикальных сил величиной

H H dy.

y

24

Переходя к статически эквивалентной системе сил, определяем в

точке А вертикальную силу, величина которой равна H dy.

y

На единицу длины приходится вертикальная сила величиной H .

y

Для положительного момента Н статически эквивалентные силы направлены вверх. В соответствии с ориентацией оси z они будут отрицательными.

Вместо условий равенства нулю Н и Qx вводим условие, согласно которому равна нулю статически эквивалентная им вертикальная сила:

(2.25)

Полученные формулы (2.24) и (2.25) выражают граничные условия для свободного края пластины с координатой x = a.

Если грань пластины с координатой x = 0 свободна от закрепления, то граничные условия имеют вид

25

(2.26)

Если грани пластины с координатами y = 0 и y = b свободны от закрепления, то на этих гранях

(2.27)

4. Упругозаделанная грань пластины.

Предположим, что контур пластины жесткий и нормальные перемещения ее граней отсутствуют, на угловой грани пластины поворот возможен. В этом случае говорят, что грань пластины имеет упругую заделку.

Если упругую заделку имеют грани пластины с координатами x = 0; x = a, то

(2.28)

где К1 – коэффициент упругого защемления края.

Учитывая, что на прямолинейных гранях пластины с координатами x = 0; x = a

(2.29)

26

условия на гранях пластины с координатами x = 0; x = a примут вид

(2.30)

Аналогично, если упругое защемление имеют грани с координатами y = 0; y = b, то

(2.31)

5. Упругоопертая грань пластины.

В случае опирания грани пластины на упругий контур граничные условия при x = 0; x = a определяются равенствами

(2.32)

где К2 – коэффициент упругого отпора контура.

С учетом выражений для M x и Qxэкв получаем

(2.33)

(2.34)

Аналогично для случая упругого опирания граней пластины с координатами y = 0; y = b граничные условия выражаются

27

(2.35)

(2.36)

2.4. Изгиб шарнирно опертых прямоугольных пластин

Рассмотрим шарнирно опертую по четырем кромкам прямоугольную пластину, находящуюся под действием поперечной нагрузки интенсивностью q(x,y) (рис. 2.4).

Прогиб пластины w(x,y) должен удовлетворять дифференциальному уравнению С. Жермен-Лагранжа (2.13), которое в развернутой форме имеет вид

(2.37)

x

y

z

Рис. 2.4

Метод, предложенный Навье в 1820 г. для решения уравнения (2.37), состоит в том, что искомую функцию прогибов w(x,y) назначают в виде двойного тригонометрического ряда Фурье:

(2.38)

28

Для того чтобы определить значения коэффициентов amn , умножим обе части выражения (2.41) на sin m'x sin n' y и проинтегрируем по x в

Подставляя полученные выражения (2.38) и (2.41) в уравнение (2.37), получим

(2.46)

30