baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

б) вероятность того, что ошибка в определении расстояния не превысит 25 м.

. В результате пяти равноточных измерений получены следующие значения измеряемой величины (м): 6 , 57, 64, 66, 60. Найти:

а) приближенные значения расстояния и среднего квадратического отклонения;

б) вероятности того, что ошибки определения расстояния среднего квадратического отклонения не превысят 5 м и 0,5 м.

4.Для оценки точности работы омметра произведено пять измерений эталонного резистора, имеющего номинальное сопротивление 1000 Ом. Результаты измерений оказались равными 1008, 1012, 986, 1018, 995 Ом. Систематической погрешности омметр не имеет. Определить приближенное значение характеристики точности омметра.

5.Деталь измерялась 16 раз. Величина среднего квадратического отклонения, полученная по результатам измерений, оказалась равной 1,4 мм. Найти границы доверительного интервала при доверительной вероятности равной 0,9.

6.Величина напряжения в сети определялась по результатам 40 измерений вольтметром, точность которого характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 В. Приближенное значение напряжения оказалось равным 221,4 В. Определить границы доверительного интервала для напряжения при доверительной вероятности 0,9.

7.Точностьизмерениянапряженияхарактеризуетсясредним квадратическим отклонением равным 2 В. Сколько необходимо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что ошибка в определении напряжения не превышает по абсолютной величине 2 В?

8.По результатам 16 независимых равноточных измерений получено приближенное значение расстояния между двумя объектами 1 0 м. Точность измерений характеризуется средним квадратическим отклонением 2 м. Определить границы доверительного интервала при доверительной вероятнос-

ти 0,95.

4 1

9.Сколько следует произвести независимых измерений неизвестного расстояния, чтобы ошибка определения его среднего квадратического отклонения не выходила за пределы при доверительной вероятности 0,9.

10.Точность измерения температуры в лаборатории характеризуется средним квадратическим отклонением 0,5°С. Сколько необходимо произвести независимых измерений, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что ошибка в измерении температуры не выходит за пределы ±0,2 °C?

вопросыдлясамопроверки

1.Поясните сущность задачи оценивания характеристик параметров.

2.Что является результатом точечного оценивания числовой характеристики случайной величины по результатам испытаний?

. Что определяют при интервальном оценивании параметра?

4.Что подразумевает требование несмещенности оценки?

5.Как называется несмещенная оценка с минимальной дисперсией и почему?

6.Что означает требование состоятельности оценки?

7.В чем смысл прочной (робастной) оценки?

8.В чем заключается цель первого этапа обработки результатов испытаний?

9.Что называется вариационным рядом и рангом?

10.Поясните правила построения гистограммы и статистической функции распределения.

11.Какой переменной описывается результат каждого испытания?

12.Каким свойствам соответствует частота как оценка вероятности наступления случайного события?

1 . Какие оценки математического ожидания случайной величины применяются при анализе результатов испытаний и

вчем их отличие?

4 2

14.Какие статистики кроме выборочного среднего используются для оценивания математического ожидания?

15.В чем отличие оценивания характеристик рассеивания при известном и неизвестном математическом ожидании?

16.Как оцениваются числовые характеристики при большом числе испытаний?

17.Поясните сущность понятий доверительного интервала

идоверительной вероятности.

18.Какие задачи решаются при интервальном оценивании

ичто должно быть известно для успешного решения этих задач?

19.Какому закону подчиняется частота наступления случайного события?

20.При каком значении вероятности наступления случайного события требуется наибольшее число испытаний для достижения требуемой точности и почему?

21.Какими таблицами необходимо пользоваться при интервальном оценивании математического ожидания и почему?

22.На основе какого распределения строится интервальное оценивание среднего квадратического отклонения? В чем особенность полученного доверительного интервала?

4

13.статистическаяПрОверкагиПОтеЗ

13.1.сущностьпроверкистатистическихгипотез

Определение неизвестных значений параметров с помощью их оценок является начальным этапом статистического анализа результатов испытаний. Последующим его этапом может быть сравнение действительных значений параметров на основе полученных оценок этих параметров. Например, изготовлена партия жидкостных ракетных двигателей (ЖРД). Десять двигателей из этой партии прошли испытания на стенде. По результатам этих испытаний получена оценка математического ожидания секундного расхода окислителя . Следующие десять двигателей работали в реальных условиях, и также получена оценка математического ожидания секундного расхода окислителя . Требуется установить, изменяется ли значение секундного расхода окислителя в зависимости от условий работы двигателя. Решение данной задачи заключается в сравнении друг с другом истинных значений секундных расходов окислителя m1 и m2 по их оценкам и .

Аналогичные задачи могут быть поставлены для сравнения истинных значений других числовых характеристик, истинного закона распределения случайного параметра с тем или иным теоретическим законом.

Во всех этих задачах суждения о соотношении истинных значений параметров вырабатывают на основе сравнения их оценок, которые, как известно, являются случайными величинами. Поэтому эти суждения носят вероятностный характер. Для решения таких задач разработан специальный метод, суть которого сводится к следующему. Относительно соотношения сравниваемых параметров выдвигается гипотеза. Затем проводятся испытания, по результатам которых проверяется справедливость выдвинутой гипотезы (гипотеза принимается либо отклоняется). Этот метод называют статистической проверкой гипотез. Он разработан в двух вариантах: классический метод

и метод последовательного анализа [2, 8, 10, 15].

4 4

Общий подход к решению задачи проверки гипотез включает в себя следующие этапы:

1.Выдвигается гипотеза о соотношении сравниваемых ве-

личин.

2.Выбирается показатель согласованности (ПС), который

вдальнейшем будем обозначать буквой u.

. Выбирается критерий проверки гипотезы (критерий согласия), т. е. правило, указывающее при каких значениях ПС, гипотеза принимается, а при каких — отклоняется.

4.В соответствии с принятым критерием все множество значений ПС разбивается на два подмножества таким образом, что при попадании возможного значения ПС в одно из этих подмножеств означает принятие гипотезы, а в другое — ее отклонение.

5.Проводятся испытания, по результатам которых вычисляется значение ПС. Определяется, к какому из подмножеств относится вычисленное значение ПС, на основании чего принимается решение о приеме или отклонении гипотезы.

Рассмотрим содержание каждого из указанных этапов.

В общем случае под гипотезой понимают любое предположение относительно какого-либо свойства изучаемого явления. При обработке результатов испытаний рассматривают гипотезы о виде закона распределения исследуемой переменной, о параметрах закона распределения и т. п. Поскольку такие гипотезы проверяют по результатам испытаний, то их называют статистическими.

Наряду с выдвинутой гипотезой, которую называют нулевой (основной) и обозначают H0, рассматривают несовместную

сней (одну или несколько) гипотезу, называемую альтерна-

тивной гипотезой. Альтернативную гипотезу обозначают H1. Например, проверяется предположение о том, что исследуемая переменная распределена по показательному закону. Это

предположение выдвигается как нулевая гипотеза H0. Альтернативных к ней гипотез может быть выдвинуто несколько (переменная распределена не по показательному закону, переменная имеет какой-либо другой закон распределения).

4 5

Для записи нулевой и альтернативной гипотез используют специальное обозначение. Предположим, что нулевая гипотеза состоит в проверке предположения о равенстве математического ожидания случайной переменной X некоторому числу , а альтернативная — математическое ожидание не равно . Записывают гипотезы следующим образом:

H0: mx = ,

H1: mx

Различают гипотезы простые и сложные. Гипотеза простая, если она содержит одно предположение. Например, H0: mx = 10. Еслигипотезасодержитконечноеилибесконечноечислопредположений, то ее называют сложной. Например, гипотеза mx > 10.

Эта гипотеза содержит бесконечное число гипотез вида

Hi: mx = i,

где i — любое число, превосходящее 10.

В качестве ПС выбирают случайную величину u, которая должна быть функцией гипотетических данных и данных результатов испытаний. Конкретный вид ПС может быть различным для различных гипотез.

Например, при проверке гипотезы о законе распределения случайной переменной X показатель согласованности задается в виде зависимости от гипотетической функции распределения F(x) (функции распределения, выдвинутой в качестве нулевой гипотезы) и статистической функции распределения F*(x), полученной по результатам испытаний

При проверке гипотезы о равенстве математических ожиданий двух случайных переменных X и Y показатель согласованности должен быть функцией оценок математических ожиданий и дисперсий, полученных по результатам испытаний

Показатель согласованности должен удовлетворять следующим требованиям.

4 6

1.Закон распределения ПС должен зависеть от нулевой и альтернативной гипотез.

2.Закон распределения должен быть известен полностью, включая и его параметры.

Наибольшее распространение получили ПС, распределенные по нормальному закону, законам хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.

Следует отметить, что в литературе по математической статистике используют обозначение ПС различными буквами. Например, ПС, распределенный по нормальному закону, часто обозначают буквой Y или Z, по закону хи-квадрат — x2, по закону Стьюдента — T, по закону Фишера — F.

. Закон распределения ПС должен быть инвариантен к виду закона распределения исследуемой случайной переменной (не должен изменяться при смене закона распределения случайной переменной).

4.Закон распределения ПС должен быть критичен по отношению к проверяемой гипотезе. Это означает, что условные

плотности распределения f (u/H0) и f (u/H1) должны существенно отличаться друг от друга.

Полученное по результатам испытаний значение ПС называют частным значением и обозначают u*.

Для проверки гипотезы необходимо задать правило, на основе которого множество возможных значений u* ПС разбива-

ется на два подмножества: подмножество u0, при попадании в которое принимается гипотеза H0, и подмножество u0, при попадании в которое гипотеза H0 отклоняется (принимается гипотеза H1). Область, соответствующую подмножеству u0, на-

зывают областью допустимых значений (областью принятия

гипотезы H0), а область, соответствующую подмножеству u1,

критической областью ПС.

Показатель согласованности представляет собой скалярную случайную величину. Поэтому допустимая и критическая области представляют интервалы возможных значений ПС и, следовательно, существует точка, которая их разделяет. Эту точку называют критической точкой (границей).

4 7

В зависимости от вида закона распределения ПС критические точки находят по соответствующим таблицам.

При статистической проверке гипотез можно совершить два рода ошибок.

Под ошибкой первого рода понимают принятие решения об отклонении нулевой гипотезы в случае, когда в действительности она оказывается справедливой. Вероятность ошибки первого рода равна уровню значимости критерия . Действительно, при уровне значимости вычисленное значение ПС u* в среднем в 100 случаях из каждой сотни может оказаться в критической области при истинной H0.

Под ошибкой второго рода понимают принятие решения о справедливости нулевой гипотезы в случае, когда в действительности она оказывается неверной (справедлива в действи-

тельности H1, но она отклоняется). Вероятность ошибки второго рода обозначают b.

Для уяснения сущности ошибок первого и второго рода на рис. 1 .2 показаны условные плотности f (u/H0), f (u/H1) и правосторонняя критическая область с критической границей u .

Из определения ошибки первого рода следует, что ее вероятность численно равна вероятности попадания ПС u в критическую область при справедливой нулевой гипотезе

Чем меньше уровень значимости , тем реже будет допускаться ошибка первого рода, т. е. отвергаться правильная гипо-

тезаПоH0.смыслу вероятность ошибки второго рода численно равна вероятности попадания ПС в область допустимых значений при условии справедливой альтернативной гипотезы H1, т. е.

Как видно из рис. 1 .2 уменьшение вероятности ошибки первого рода приводит к возрастанию ошибки второго рода и наоборот.

440