baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

. При x = 2 на основе равенства (9.2)

F(2) = P(X < 2).

Обращаясь к табл. 9.2, видим, что неравенство X < 2 выполняется, если случайная величина Xпринимает либо значение x1 = 0,либо значение x2 = 1. Ввиду того, что такие исходы испытания являются несовместными,

Отсутствие на интервале 1 < x < 2 возможных значений рассматриваемой случайной величины позволяет заключить, что F(x) = 0,5 для всех 1 < x # 2.

4. При x = по определению

F( ) = P(X < ),

а из табл. 9.2 следует, что выполнение неравенства X < имеет место при осуществлении какого-либо их трех несовместных исходов испытания: случайная величина X реализуется значением x1 = 0 или значением x2 = 1, или значением x = 2. Поэтому

причемF(x)=0,875длявсех2 < x # ,ибонаинтервале2 < x < рассматриваемая случайная величина возможных значений не имеет.

5. Рассуждая аналогично, приходим к выводу о том, что при любом x > (например, при x = ,01) неравенство X < x выполняется, если осуществляется хотя бы один из четырех несовместных исходов испытания: случайная величина X принимает либо возможное значение x1 = 0, либо возможное значение x2 = 1, либо возможное значение x = 2, либо возможное значение x4 = . Поэтому для любого x >

F( ) = p(x1) + p(x2) + p(x ) + p(x4) = 0,875 + 0,125 = 1. (9.6)

Результат является очевидным, поскольку рассматриваемая случайная величина при осуществлении испытания достоверно принимает значения меньше, чем любое x > .

291

График функции распределения, соответствующий условиям рассмотренного примера, представлен на рис. 9.1. Из этого рисунка следует, что функция распределения дискретной случайной величины в промежутках между ее возможными значениями не изменяется. В точках, отвечающих возможным значениям, эта функция имеет разрывы, совершая скачки, которые равны вероятностям соответствующих возможных значений. Следовательно, она столь же информативна, как и функция вероятности, заданная табл. 9.1.

Обобщая результаты решения задачи в примере 9.1 (равенства (9. )–(9.6)), можно заключить, что в общем случае функция распределения скалярной случайной величины определяется соотношением

(9.7)

где p(xi) — вероятности ее возможных значений.

Очевидно, что чем больше возможных значений имеет случайная величина, тем большим оказывается число скачков соответствующей ей функции распределения, а, следовательно, тем меньшей величина каждого из них (сумма всех скачков равна единице). Следовательно, функция распределения непрерывной скалярной случайной величины, возможные значения которой сплошь заполняют тот или иной интервал, представляется непрерывной кривой

Заметим, что поскольку вид функции F(x) определяется распределением вероятностей на множестве возможных значений случайной величины, более правильно называть ее функцией распределения вероятностей.

Функция распределения скалярной случайной величины имеет следующие основные свойства:

1. 0 # F(x) # 1, ибо ее значения являются вероятностями. 2. как вероятность достоверного со-

бытия.

как вероятность невозможного со-

бытия.

. Если x2 > x1, , то F(x2) > F(x1), т. е. функция распределения является неубывающей функцией аргумента x.

В справедливости этого утверждения можно убедиться следующим образом. Введем в рассмотрение события (рис. 9. ):

A

B1 B2

Рис. 9.3

A — выполнение неравенства X < x2; B1 — выполнение неравенства X < x1;

B2 — выполнение неравенства x1 # X < x2. Очевидно, что

A = B1 + B2,

причем события B1 и B2 несовместны. Поэтому

P(A) = P(B1) + P(B2)

или

P(X < x2) = P(X < x1) + P(x1 # X < x2).

Отсюда, принимая во внимание равенство (9.2), определяющее смысл функции распределения скалярной случайной величины, получим

29

294

венство x1 # X в скобках левой части соотношения (9.9) можно заменить строгим, т. е. считать интервал от x1 до x2 открытым. Кроме того, из-за этой особенности нет смысла задавать распределение такой случайной величины вероятностями ее возможных значений. Речь может идти только о вероятностях ее появления в том или ином интервале, определение которых обеспечивает вполне функция распределения. Следовательно, и для непрерывных скалярных случайных величин она является исчерпывающе информативной.

9.2.4.Плотностьраспределения

Плотностью распределения скалярной случайной величины X называется функция f (x) аргумента x, которая при каждом x равна пределу отношения вероятности попадания данной случайной величины на интервал Dx в окрестности точки x к длине этого интервала, когда она стремится к нулю, т. е.

(9.10)

(если такой предел существует).

Из данного определения следует, что функция f (x) по существу задает плотность вероятности в окрестности каждой точки числовой оси, поэтому более правильно называть ее плотностью распределения вероятностей.

Принимая во внимание соотношение (9.9), равенство (9.10) можно представить в виде

откуда следует, что

(9.11)

т. е. плотность распределения скалярной случайной величины есть производная от функции распределения F(x) по аргументу x. Поэтому она как форма представления закона распреде-

295

4. как вероятность достоверного события (следо-

вательно, площадь под кривой f (x) любого вида равна единице).

296

Полезноотметить,чтоплотностьраспределенияскалярной случайной величины имеет размерность, обратную размерности самой случайной величины (это непосредственно вытекает из соотношения (9.10), определяющего понятие плотности).

Третье из рассмотренных свойств позволяет заключить, что вероятность попадания непрерывной скалярной величины в бесконечно малую окрестность какой-либо точки числовой оси с точностью до бесконечно малых высших порядков определяется равенством

9.3.числовыехарактеристикискалярныхслучайныхвеличин

Как уже было отмечено, исчерпывающей характеристикой любой случайной величины является ее закон распреде-

297

ления, который полностью определяется, например, функцией распределения. Однако для решения прикладных задач часто оказывается достаточным описывать распределение случайной величины лишь в самых общих чертах, отражая его наиболее существенные особенности. Для этого используются специальные характеристики распределения (их называют также числовыми характеристиками случайной величины). Основные из таких характеристик дают представление о том, относительно какой точки группируются возможные значения случайной величины и какова степень их рассеивания, в связи с чем одни из них называют характеристиками положения, а другие — характеристиками рассеивания. Ниже эти характеристики рассматриваются применительно к скалярным случайным величинам.

9.3.1.Характеристикиположения

Вкачестве числовых характеристик положения использу-

ются: мода, медиана и математическое ожидание.

Модой называют значение случайной величины, которому соответствует максимум функции вероятности или плотности распределения. Таким образом, мода (условимся обозначать ее символом Mo) дискретной случайной величины определяется из условия

а непрерывной — из условия

что иллюстрируется рис. 9.9 и рис. 9.10 (вертикальными линиями на рис. 9.10 представлены вероятности возможных значений

x1, x2, …, xn).

Медианой называется корень уравнения

F(x) = 0,5,

т. е. такая точка Me на числовой оси, для которой

298

Медиана непрерывной случайной величины всегда определяется однозначно (рис. 9.11 и 9.12).

Дискретная же случайная величина может либо вообще не иметь медианы (рис. 9.1 ), либо иметь их бесконечное множество (рис. 9.14), в связи с чем применительно к таким случайным величинам эта числовая характеристика на практике используется редко.

Математическое ожидание является наиболее часто используемой числовой характеристикой положения.

Для дискретной случайной величины оно определяется как сумма произведений ее возможных значений на их вероятности, т. е. с помощью оператора

299

(9.16)

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется оператором

(9.17)

который по существу аналогичен оператору (9.16) с той лишь разницей, что здесь суммирование заменено интегрированием, а вероятность p(xi) — элементом вероятности f (x)dx (заметим, что интеграл в правой части выражения (9.17) практически следует вычислять в пределах, определяющих интервал значений x, при которых плотность f (x) отлична от нуля).

По смыслу математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, а точнее — число mx, около которого при достаточно большом количестве испытаний группируется среднее арифметическое ее реализовавшихся значений.

Действительно, пусть при осуществлении N испытаний, результаты которых представляются дискретной случайной величиной X с возможными значениями x1, x2, …, xi, …, xn, каждое из этих значений реализовалось соответственно N1, N2, …, Ni, …Nn раз. Среднее арифметическое полученных результатов

00