baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

(10. 9)

Проделав несложные преобразования в показателе степени, получим

(10.40)

Анализ формулы (10.40) показывает, что случайная величина Y распределена нормально с математическим ожиданием my = amx + b и стандартным отклонением sy = |a|sx. Здесь получено подтверждение общего правила: линейное преобразование случайной величины не изменяет вида закона ее распределения.

Распределениеполярныхкоординат

На практике часто осуществляется переход от прямоугольных к полярным координатам. Предположим, что известна плотность распределения прямоугольных координат f (x, y) и требуется определить плотность распределения системы полярных координат r, , если

Как известно, якобиан преобразования (10.41) равен I = r. Тогда на основании общей формулы запишем

В частном случае, если {X, Y} — нормально распределенные величины с плотностью распределения

плотность распределения полярных координат имеет вид

61

(10.4 )

Рассмотрим теперь распределение случайной величины R при условии, что sx = sy = s, т. е. для нормального кругового распределения.

Применяя правило определения частного распределения при известной плотности совместного распределения, имеем

или

(10.44)

Получили плотность распределения Релея. Это распределение радиус-вектора, составляющие которого суть независимые нормально распределенные случайные величины с равными стандартными отклонениями.

10.5.распределениенеоднозначногопреобразования случайныхвеличин

Предположим, функция Y = c(X) такова, что обратная ей функция X = c(Y) неоднозначна, т. е. одному значению величины y соответствует несколько значений аргумента x (рис. 10. 2), которые обозначим x1 = c1(y); x2 = c2(y) и т. д. В данном случае функция будет немонотонная.

Событие y < Y < y + dy будет иметь место при наступлении хотя бы одного из нескольких несовместных событий:

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем

P(y < Y < y + dy) = P(x1 < X < x1 + dx1) + + P(x2 < X < x2 + dx2) + …

62

или

f (y)dy = f (x1)dx1 + f (x2)dx2 …

Из последнего равенства получаем искомую формулу для плотности распределения f (y) неоднозначного преобразования случайной величины:

(10.46)

Формулу (10.46) можно распространить и на многомерный случай [6, 1 ].

В качестве примера рассмотрим квадратичное преобразование случайной величины X:

Y = X2.

Каждому значению y, которое всегда положительно, отвечают два значения x:

Применяя формулу (10.46), получим

6

или

Пусть, например, случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием mx = 0 и стандартным отклонением sx. После квадратичного преобразования плотность распределения будет иметь вид:

Следовательно, результат квадратичного преобразования нормально распределенной случайной величины имеет распределение, отличное от нормального.

10.6.распределениефункциидвухслучайныхвеличин

Рассмотрим частный случай преобразования системы двух случайных величин, имеющий большое значение для практики, а именно функцию двух случайных аргументов

Z = w(X, Y).

Необходимо по известному распределению системы случайных величин {X, Y} определить распределение функции Z.

Чтобы воспользоваться полученным в п. 10.5 правилом для решения этой задачи, применим следующий прием. Введем в рассмотрение случайную величину Z1, равную X. Для общности рассуждений можно записать

При таком подходе систему случайных величин {Z1, Z2} можно рассматривать как результат функционального преобразования системы {X, Y}:

64

Предположим, что соответствующие обратные функции X = c1(Z1); Y = c2(Z, X) однозначны. К этому случаю применим полученное выше правило определения плотности распределения функционального однозначного преобразования.

Вычислим якобиан преобразования (10.48):

(10.49)

Применяя формулу (10. 5), получим

(10.50)

Теперь, используя правило определения частного распределения, найдем решение поставленной задачи:

или

(10.51)

так как dz1 = dx.

Из формулы (10.51) как частные случаи получаются формулы для определения плотности распределения суммы, разности, произведения и частного от деления двух случайных величин. Ограничимся рассмотрением наиболее важного для практики случая определения плотности распределения суммы двух случайных величин.

Предположим Z = X + Y. Тогда Z = X 2 Y, и

(10.52)

Если случайные величины независимы, то

65

Z = X + Y.

Применяя формулу (10.5 ) для композиции двух распределений, получим

Учитывая то, что плотность распределения f (y) равна нулю в пределах от 2` до a и от b до +`, плотность распределения f (z) примет вид:

(10.54)

Формально подынтегральная функция есть нормальная плотность распределения с математическим ожиданием z 2 mx и стандартным отклонением sx, а интеграл представляет собой вероятность попадания случайной величины Z на интервал (a, b). Используя, например, табличную функцию Лапласа, выражение для этой вероятности запишем в виде

Тогда плотность распределения f (z) примет вид:

(10.55)

Для удобства проведения анализа плотности (10.55) рас-

смотрим частный случай: mx = my = 0; b 2 a = 2l, т. е. a = 2l и b = +l. Тогда формула (10.55) примет вид

Если обозначить и , то

(10.56)

67

При фиксированных значениях l0 с использованием таблицы функции Лапласа можно построить графики плотности f (z0). При l0 = 0, 1, 2, такие графики приведены на рис. 10. .

Из графиков видно, что чем больше l0, тем сильнее плотность композиции нормального и равномерного распределений отличается от нормального. Для наглядности на рис. 10. штриховой линией показана плотность нормального распределения

(при l0 = 0).

При сравнительно небольших l0 кривые плотности f (z0) имеют вид кривых нормального распределения, при больших значениях l0 кривые композиции становятся плосковершинными.

Поскольку ,а , то . Отсюда видно, что

вид плотности композиции нормального и равномерного распределений целиком и полностью определяется соотношением характеристик рассеивания этих распределений.

При решении практических задач композицию нормального и равномерного распределений приближенно заменяют нормальным распределением, оставляя неизменными параметры композиции

68

где

mz = mx + my;

Однако следует заметить, что это справедливо только при небольших значениях l0. Погрешность от такой замены возрас-

10.7.2.Композициянормальныхраспределений

Часто при решении практических задач приходится находить композицию нормальных распределений (при исследовании точности стрельбы, точности приборов и т. п.).

Предположим, случайные величины X и Y независимы и распределены по нормальному закону с плотностями

и

Необходимо найти плотность распределения случайной величины

Z = X + Y.

Применяя общее выражение композиции двух распределений, получим

Если произвести преобразование в показателе степени подынтегрального выражения и замену переменной, то интеграл

69

сводится к табличному. Окончательное выражение композиции двух нормальных распределений получается в виде

(10.57)

где mz = mx + my.

Подробный вывод выражения плотности распределения f (z) можно найти в [5].

Таким образом, при композиции двух нормальных распределений получается снова нормальное распределение с математическим ожиданием mz = mx + my и стан-

Правила композиции двух нормальных распределений могут быть обобщены на случай произвольного числа независимых нормально распределенных случайных величин.

Предположим, что случайная величина

гдеX1, X2, …, Xn —независимыенормальнораспределенныеслу- чайныевеличинысматематическимиожиданиями

исредними квадратическими отклонениями .

Вэтом случае Z также будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием

и средним квадратическим отклонением

Если величины Xi распределены по нормальному закону, но зависимы, то можно показать, что их сумма будет распределена также нормально с математическим ожиданием

70