baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Графики плотности вероятности (9.40) и функции распределения (9.41) представлены на рис. 9.17 и 9.18 соответственно.

Показательное распределение имеет единственный параметр l, причем для этого распределения

Данное распределение достаточно хорошо описывает распределение времени безотказной работы весьма обширного класса элементов технических систем, в связи с чем широко применяется при оценке их надежности.

Показательное распределение обладает важным свойством. Если случайная величина X имеет показательное распределение, а событие X > x произошло, то случайная величина Y = X 2 x имеет также показательное распределение с тем же

Это свойство означает, что если показательное распределение имеет случайная величина T — время безотказной работы агрегата и агрегат уже проработал нормально какое-то количество часов, то это никак не влияет на закон распределения оставшегося времени безотказной работы агрегата. Иначе говоря, если среднее время безотказной работы агрегата mt = 1000 ч и агрегат уже проработал 500 ч, то среднее время последующей работы этого агрегата опять-таки равно 1000 ч.

11

Равномерноераспределение

Равномерным принято называть распределение непрерывной скалярной случайной величины X, если оно представляется плотностью

так что соответствующая функция распределения определяется соотношениями

Графики функций (9.42) и (9.4 ) представлены на рис. 9.19

и 9.20.

1,0

Концы a и b интервала равномерного распределения являются его параметрами и определяют значения числовых характеристик этого распределения, причем

(9.44)

12

При равномерном распределении случайной величины вероятность ее попадания в интервал от x1 до x2 принадлежащий интервалу [a, b], определяется формулой

(9.45)

которая может быть получена из соотношений (9.42) и (9.4 ). Таким образом, эта вероятность равна отношению длины рассматриваемого интервала к длине всего интервала распределения, т. е. не зависит от его положения внутри [a, b].

В инженерной практике используются некоторые частные случаиравномерногораспределения.Например,примоделировании случайных факторов на ЭВМ применяется равномерное распределение в интервале от 0 до 1, для которого (рис. 9.21)

при x > 1

и следовательно, в соответствии с формулами (9.44)

(9.47)

Другой частный случай равномерного распределения используется при оценке точности технических измерений. Как известно, ошибка округления отсчета по шкале любого измерительного прибора до ближайшего деления с ценой 2L является случайной, а все ее значения равновозможны и по абсолютной величине не превышают L. Следовательно, эта ошибка имеет равномерное распределение в интервале от a = 2L до b = +L

(рис. 9.22), т. е.

при | x | # L,

(9.48)

при | x | > L,

а из соотношений (9.44) следует, что ее числовые характеристики определяются равенствами

1

1,0

Нормальноераспределение

Нормальное распределение непрерывной скалярной случайной величины X определяется плотностью

(9.50)

где mx — математическое ожидание;

sx — среднее квадратическое (стандартное) отклонение этой случайной величины,

или функцией распределения

(9.51)

графики которых представлены на рис. 9.2 и 9.24.

14

Из соотношения (9.50) следует, что при нормальном распределении числовые характеристики mx и sx являются его параметрами и, следовательно, полностью определяют это распределение.

Нормальное распределение присуще очень широкому кругу случайных величин, встречающихся в инженерной практике. Это объясняется тем, что для обширного класса случайных факторов объективно выполняются условия, в которых формируется именно нормальное распределение соответствующих случайных величин. Суть этих условий состоит в следующем: если какая-либо случайная величина по своей природе является суммой случайных слагаемых с ограниченными дисперсиями и распределенных как угодно, то распределение этой случайной величины будет тем ближе к нормальному, чем больше таких слагаемых она представляет. (Строгое доказательство сходимости распределения суммы случайных величин к нормальному составляет содержание центральной предельной теоремы теории вероятностей, доказанной А. М. Ляпуновым [1].)

Известно, например, что рассеивание точек падения снаряда по дальности при стрельбе из артиллерийского орудия на постоянных установках прицельных устройств является следствием суммарного влияния большого числа случайных источников. Среди них можно указать фактическое положение ствола в момент выстрела, отклонения от номиналов начальной скорости снаряда, его веса и аэродинамических характеристик, а также отклонения реальных значений параметров атмосферы от стандартных. Каждый из этих источников, в свою очередь, может быть представлен суммой составляющих его случайных компонентов, играющих примерно одинаковую роль в формировании рассеивания конечного результата — точки падения снаряда. Поэтому его распределение считается практически нормальным.

Практически нормальным можно считать и распределение других непрерывных случайных величин, являющихся результатом суммарного влияния большого числа случайных источников.

15

Необходимо отметить, что интеграл в правой части равенства (9.51) к элементарным функциям не сводится. Поэтому значения функции нормального закона распределения могут быть получены лишь путем численного интегрирования плотности (9.50), результаты которого для постоянного практического использования целесообразно табулировать. Очевидно, что соответствующая таблица должна иметь три входа: верхний предел интегрирования x и параметры mx, sx, т. е. представляется слишком громоздкой. Оказывается, однако, что для решения практических задач достаточно составить только таблицу функции стандартного нормального распределения с параметрами mx = 0, sx = 1, т. е. таблицу функции

(9.52)

имеющую один вход — верхний предел интегрирования y. Такая таблица приведена в приложении (табл. 1).

Действительно, используя в интеграле (9.51) замену переменной интегрирования x на

(9.5 )

и учитывая, что при такой замене , а верхний предел ин-

теграла x следует заменить на , получим

(9.54)

Таким образом, табличная функция (9.52) обеспечивает возможность вычисления значений функции нормального распределения с любыми значениями параметров mx и sx. Поэтому с ее помощью можно, например, рассчитать вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в тот или иной интервал при заданных значениях mx и sx. В самом

16

деле, поскольку всегда эта вероятность равна разности значений функции распределения на границах интервала, т. е.

P(x1 # X # x2) = F(x2) 2 F(x1),

для рассматриваемого случая с учетом соотношения (9.54), имеем

откуда с учетом соотношения (9.94) найдем

(9.55)

Отметим, что значение табличной функции (9.52) при каждом значении ее аргумента y геометрически представляется площадью под кривой плотности

(9.56)

слева от точки y (рис. 9.25). Поскольку эта кривая симметрична относительно нуля, площадь под ней слева от точки 2y, равная FT(2y), одинакова с площадью справа от точки y. Вся же площадь под данной кривой, представляющей плотность распределения (нормального с параметрами m = 0 и s = 1), равна единице. Поэтому из рис. 9.25 следует, что

Значения табличной функции нормального распределения представлены в табл. 1 приложения.

Применительно к нормальному распределению составлена также таблица функции

(9.58)

которую называют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей). Она является нечетной функцией своего аргумента, т. е.

17

и геометрически представляется площадью под кривой (9.56) между точками 2y и y (рис. 9.26). Сопоставляя друг с другом рис. 9.25 и 9.26, нетрудно установить, что

Поэтому равенство (9.55) можно представить в виде

(9.61)

Таким образом, функция Лапласа может использоваться для вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (при этом необходимо принимать во внимание соотношение (9.59)).

В приложении функция Лапласа (9.58) представлена в табл. 2.

Функция Лапласа оказывается наиболее удобной при вычислении вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно ее математического ожидания. Действительно, если обозначить длину такого интервала через 2L, то в соответствии с рис. 9.27 его левая и правая границы будут определяться соотношения-

18

ми x1 = mx 2 L и x2 = mx + L. Поэтому по (9.61), с учетом (9.59), получим

LL

(9.62)

Вчастности,еслиL = sx,тоP(|X2mx|<L)=ФT( ) == 0,997 .

Следовательно, при нормальном распределении случайной величины ее возможные значения практически достоверно (с вероятностью 0,997 ) рассеиваются относительно математического ожидания в пределах, не превышающих три стандартных отклонения в каждую сторону. Это утверждение обычно называют правилом «трех сигм».

С помощью табличной функции Лапласа можно установить соотношение между срединным (вероятным) и стандартным отклонениями при нормальном распределении. Для этого необходимо принять в равенстве (9.62) L = Bx и положить определяемую им вероятность равной 0,5, т. е. найти соотношение

Отсюда обратным интерполированием по табл. 2 приложения получаем

так что

(9.6 )

19

Это соотношение иногда представляют в виде

(9.64)

где = 0,4769 — константа нормального распределения.

РаспределениеРелея

Случайная величина R подчиняется закону Релея, если плотность ее распределения определяется выражением

при r # 0,

(9.65)

при r > 0,

где a — параметр распределения (a > 0). Распределение Релея имеет случайная величина

(9.66)

где X и Y — независимые нормально распределенные случайные величины, у которых дисперсии одинаковы, а математические ожидания равны нулю.

В этом случае параметр распределения

где .

Это распределение широко применяется на практике. Например, отклонение точки попадания в мишень от точки прицеливания (Т. пр.) связано с абсциссой и ординатой этой точки со-

20