baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

и стандартным отклонением

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Случайная величина X имеет функцию вероятности

Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = 2X.

2. Случайные величины X и Y связаны соотношением Y = 2 2 X. Определить:

а) математическое ожидание и дисперсию величины Y;

б) момент связи и коэффициент корреляции случайных величин X и Y, если mx = 21, Dx = 4.

.Производитсяпараллельноесоединениедвухрезисторов номинальным сопротивлением 900 Ом. Максимальное отклонение сопротивления резистора от номинала 1%. Определить номинальное сопротивление такого соединения и его среднее квадратическое отклонение.

4. Найти математическое ожидание и дисперсию величины

U = X 2 2Y + 4Z 2 5, если

mx = 4; my = 2; mz = 1; Dx = 4; Dy = 1; Dz = 9; rxy = 0,5; rxz = 1; ryz = 0,5.

5. Определить характеристики силы тока в цепи, если напряжение и сопротивление независимые случайные величины с характеристиками:

mu = 220 В; su = 5 В; mr = 100 Ом; sr = Ом.

6. Определить характеристики мощности W = I2R, выделяемой на резисторе, подключенном к источнику тока, если ток

71

и сопротивление независимые случайны величины с характеристиками:

mi = 5 А; mr = 1000 Ом; si = 0,1 А; sr = 10 Ом.

7. Определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины

если mx = 10; my = 5; sx = 0,01 sy = 0,01; rxy = 0.

вопросыдлясамопроверки

1.Что называется функцией случайных аргументов? Приведите примеры функций случайных аргументов.

2.Какие задачи решаются с использованием аппарата функций случайных аргументов?

. Почему математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной?

4.Докажите, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

5.Почему дисперсия постоянной величины равна нулю?

6.Чему равна дисперсия суммы случайной и постоянной величин?

7.Какую случайную величину называют центрированнонормированной? Определите ее параметры.

8.Опишите постановку задачи определения числовых характеристик функций случайных аргументов.

9.Чему равны математическое ожидание и дисперсия линейной функции случайных аргументов?

10.В чем состоит сущность метода линеаризации при определении числовых характеристик функции случайных аргументов?

11.В чем заключается основное отличие неоднозначного преобразования случайных величин от однозначного?

12.Как изменяется закон распределения случайной величины при ее нелинейном преобразовании?

72

1 . С какой целью вводится в рассмотрение случайная ве-

личина Z1?

14. Чему равен якобиан преобразования?

15. Поясните формулу свертки или композиции двух распределений.

16. Что называется композицией распределений?

17. Чем определяется вид плотности распределения композиции нормального и равномерного распределения?

18. Какое распределение и с какими параметрами получается при композиции нормальных распределений?

7

11.статистическиеМетОдыОценивания характеристикПрОдукции

11.1.Общаяхарактеристикастатистическихметодов оцениванияхарактеристикпродукцииирезультатов ееприменения

Качество образцов продукции зависит от большого числа случайных факторов. При оценивании качества продукции случайные факторы учитывают с помощью их вероятностных характеристик (закона распределения либо числовых характеристик). Например, в качестве характеристик надежности принимают математическое ожидание времени (среднее время) безотказной работы, вероятность безотказной работы в течение времени T и др.

Вероятностные характеристики случайных факторов можно находить теоретическим путем с помощью математического аппарата теории вероятностей. Для применения этого аппарата необходимо знать зависимости, связывающие случайные переменные, вероятностные характеристики которых необходимо найти, с переменными, вероятностные характеристики которых известны. Например, система состоит из n блоков (рис. 11.1). Известны средние времена безотказной работы каждого блока . Требуется определить среднее время безотказной работы системы.

В предположении, что переключающие устройства срабатывают мгновенно и безотказно, время безотказной работы системы будет равно

где Ti — время безотказной работы i-го блока.

Используя метод определения числовых характеристик функции случайных аргументов, можно найти среднее время безотказной работы системы

74

1

2

………

n

Рис. 11.1

Не вызывает существенных затруднений решение задачи по определению закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения времени безотказной работы блоков и зависимости (11.1).

Однако в некоторых случаях установить зависимость между случайными переменными либо вообще не удается, либо она оказывается настолько сложной, что применение аппарата теории вероятностей для решения подобных задач является затруднительным. Нельзя, например, чисто теоретическим путем установить продолжительность безотказной работы транзистора, микросхемы того или иного типа.

В этих случаях вероятностные характеристики находят экспериментальнымпутем,сутькоторогосостоитвследующем. Многократно проводятся наблюдения исследуемого явления. Затем результаты наблюдений обрабатывают специальными математическими методами, которые позволяют приближенно определять искомые характеристики. Разработка таких методов составляет предмет математической статистики.

Математическая статистика — это прикладная наука, занимающаяся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений (испытаний) с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Наблюдения, осуществляемые в процессе эксперимента, могут заключаться в измерении какого-либо параметра исследуемого объекта либо в регистрации у него того или иного признака. В общем случае измеряемых параметров или регистрируемых признаков может быть несколько.

75

Эксперименты могут проводиться с реальным объектом либо с его моделью, адекватно описывающей процесс функционирования этого объекта.

Задачей проведения многих наблюдений является принятие решения относительно значений некоторых параметров (величин), характеризующих изучаемое явление или процесс. Если в процессе наблюдения непосредственно измеряется интересующий нас параметр, то говорят, что имеют место прямые измерения. Иногда интересующий нас параметр непосредственно измерить нельзя. В этом случае измеряется другая величина, с которой функционально связан интересующий нас параметр. Такие измерения называются косвенными.

После проведения наблюдений производят обработку их результатов. Смысл обработки результатов наблюдений заключается в получении сведений о свойствах изучаемого объекта. В наиболее общем виде можно говорить, что принимается определенное решение относительно этих свойств. Это решение может быть связано, например, с оцениванием конкретных значений характеристик (параметров), описывающих свойства объекта, проверкой предположений о нахождении этих характеристик в некоторых пределах, предположений о законах распределения наблюдаемых переменных и т. д.

Методы математической статистики используются при решении достаточно широкого круга задач. К числу таких наиболее часто встречающихся задач относятся [1, 12, 1 ]:

определение по результатам одинаковых независимых экспериментов частоты наступления случайного события и оценка на этой основе его вероятности;

оценивание по результатам одинаковых независимых экспериментов законов распределения и основных числовых характеристик случайных величин (математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения). Иногда оценивают и другие моменты распределения случайной величины. При наблюдении за системой двух случайных величин одновременно оценивают ковариацию (момент связи между ними) или коэффициент корреляции;

76

определение неизвестных значений постоянных величин, неизвестных значений коэффициентов функций неслучайных аргументов при заданном виде этих функций;

статистическая проверка гипотез о законах распределения или числовых характеристиках случайных величин;

оценка влияния множества факторов на конечный результат и выбор наиболее важных факторов, а также исследование внутренней структуры результатов наблюдений (проверка однородности результатов и независимости испытаний).

11.2.Общаясхемаэксперимента

Рассмотрим общую схему эксперимента, в рамках которой можно описать методы решения перечисленных выше задач математической статистики [5].

Объект, на котором проводятся испытания, принято называть объектом экспериментального исследования (ОЭИ). Это может быть реальный объект, лабораторная установка, модель реального экономического объекта и т. п. Эксперимент заключается в наблюдении исследуемого явления в конкретных условиях. Учесть все условия при проведении эксперимента практически невозможно. Поэтому исследователь выбирает основные наиболее существенные факторы, определяющие исход эксперимента. Здесь под фактором будем понимать переменную, значения которой исследователь с той или иной степенью точности может контролировать в ходе эксперимента.

В качестве входных переменных на вход ОЭИ действует k контролируемых переменных (факторов) x1, x2, …, xk (рис. 11.2). Исследовательимеетвозможностьпроводитьэкспериментыпри определенных фиксированных значениях входных переменных. Совокупность значений переменных, при которых проводятся испытания, составляет комплекс условий эксперимента.

На выходе ОЭИ в каждом испытании при фиксированных значениях входных переменных измеряется значение выходной переменной Y. В общем случае выходных переменных может быть несколько: Y1, Y2, …, Yl.

77

Если значения переменной Y в каждом эксперименте при реализации одного и того же комплекса условий (при одних и тех же значениях x1, x2, …, xk) не меняются, то говорят, что эксперимент обладает идеальной воспроизводимостью. В этом случае в качестве математической модели эксперимента используют различные функциональные зависимости:

Y = (x1, x2, …, xk).

Кроме входных переменных, на ОЭИ воздействует группа неконтролируемых факторов (вектор помех V), действие которых носит случайный характер. К неконтролируемым факторам относятся факторы, которые невозможно учесть и проконтролировать в ходе эксперимента (ошибки установки значений входных переменных, ошибки измерения выходной переменной и т. п.). В силу этого выходная переменная Y в каждом эксперименте при реализации одного и того же комплекса условий будет принимать различные значения, т. е. будет носить случайный характер. Модель эксперимента в данном случае будет иметь вид:

Y = (x1, x2, …, xk) + (x1, x2, …, xk)

где (x1, x2, …, xk) — регулярная составляющая, которую в статистике называют функцией отклика;

78

(x1, x2, …, xk) — случайная ошибка результата наблюдения (эксперимента).

В общем случае распределение ошибки эксперимента зависит от комплекса условий. Считают, что ошибка эксперимента распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю (M[ (x1, x2, …, xk)] = 0 Поэтому

M[Y] = (x1, x2, …, xk)

Зависимость математического ожидания выходной переменной Y от входных переменных (x1, x2, …, xk) называется уравнением регрессии.

На выходе ОЭИ наряду с основной выходной переменной Y часто приходится контролировать группу неосновных выходных переменных V1, V2, …, Vk. На неосновные выходные переменные обычно налагаются ограничения.

K-мерное пространство, координатами которого являются контролируемые переменные, называется факторным пространством. Система ограничений на неосновные выходные переменные выделяет в факторном пространстве область эксперимента G.

Различают активные и пассивные эксперименты. Эксперимент будет активным, если имеется возможность не только контролировать входные переменные, но и управлять ими. В пассивном эксперименте исследователь не имеет возможности устанавливать значения входных переменных по своему усмотрению, т. е. управлять входными переменными.

11.3.сущностьвыборочногометода

Особенностью методов математической статистики является то, что выводы и заключения, полученные на основе этих методов, относятся не к отдельным испытаниям, которые были произведены, а представляют собой утверждения о вероятностных характеристиках исследуемого явления в целом [1, 12, 1 ]. Поэтому результат наблюдения в отдельном испытании следует рассматривать как один из возможных исходов, кото-

79

рые могли бы иметь место при многократном проведении испытания в одних и тех же условиях.

Совокупность всех мыслимых результатов наблюдений, которые могут быть получены в данных условиях, называют генеральной совокупностью. Различают конечные и бесконечные генеральные совокупности. Генеральная совокупность конечна, если содержит конечное число элементов. Бесконечная генеральная совокупность содержит бесконечное число элементов.

Например, производится сплошной контроль качества партии готовой продукции, содержащей N изделий. Испытание здесь заключается в извлечении одного изделия из партии и проверке его годности. Множество всех изделий образует генеральную совокупность, поскольку исход испытания состоит в появлении любого из N изделий (годного либо дефектного). В данном примере генеральная совокупность — конечная.

Если же предметом исследования является технологический процесс изготовления данного вида продукции, то генеральной совокупностью следует считать воображаемое бесконечное число изделий, которые могут быть изготовлены при данной технологии производства. Совокупность всех возможных отклонений точки падения снаряда от точки прицеливания при фиксированных условиях стрельбы также является примером бесконечной генеральной совокупности.

Задача обследования партии готовой продукции может состоять в оценке доли бракованных изделий или, что то же самое, в оценке вероятности извлечения бракованного изделия. Она может быть решена следующим образом. Провести обследование каждого изделия в партии и подсчитать число бракованных. Затем, используя классический способ определения вероятности, находят вероятность извлечения бракованного изделия (долю бракованных изделий в партии).

При сплошном контроле не возникает каких-либо трудностей при формировании статистического вывода.

На практике не всегда имеется возможность провести обследование всех элементов генеральной совокупности. Это обусловлено тем, что число элементов генеральной совокуп-

80