baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

выборки при известной и неизвестной характеристиках рассеивания результатов испытаний. Рассмотрим последовательно эти случаи.

случайбольшойвыборки

Если объем выборки большой, то при любом распределении результатов моделирования распределение оценки математического ожидания (12.10) близко к нормальному с параметрами

(12.29)

Предположим, что характеристика точности результатов измерений sx известна.

Тогда случайная величина

(12. 0)

будет иметь также нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице,

т. е. Y [ N(0;1).

Доверительная вероятность будет определяться соотношением

(12. 1)

С учетом того, что случайная величина Y имеет нормальное распределение, соотношение (12. 1) запишется в виде

(12. 2)

Разрешив уравнение (12. 2) относительно g, получим

(12. )

где — функция, обратная табличной функции Лапласа.

421

Интервал

(12. 4)

накрывает неизвестное значение mx с вероятностью . Длина интервала зависит только от уровня доверительной вероятности и от стандартного отклонения оценки , с помощью

которой определяется неизвестное значение mx. Величина , как это следует из равенства (12.29), определяется числом измерений n и стандартным отклонением sx, характеризующим точность измерений. Таким образом, в рассматриваемом случае при фиксированных значениях , n, sx длина доверительного интервала является постоянной. Случайным этот интер-

полученную по результатам n измерений, что при большом n вполне допустимо. При этом доверительный интервал (12. 4) имеет вид

(12. 5)

Этот интервал имеет не только случайный центр , но и случайную длину, так как она является функцией оценки среднего квадратического отклонения .

Определение доверительного интервала при известной доверительной вероятности и фиксированном n производится в такой последовательности:

по результатам n испытаний получают оценки и по формулам (12.10) и (12.15) соответственно;

из таблицы функции Лапласа (табл. 2 приложения) по вероятности находят значение y ;

по формуле (12. 5) рассчитывают границы доверительного интервала I.

422

Для определения доверительной вероятности при известном размахе доверительного интервала g и фиксированном числе измерений n необходимо:

по результатам n измерений по формуле (12.15) получить оценку ;

вычислить значение ;

по величине y в таблице функции Лапласа найти значение доверительной вероятности .

случаймалойвыборки

Если закон распределения результатов измерения нормальный, то оценка будет иметь нормальное распределение при любом объеме выборки. Поэтому при известном значении sx доверительный интервал и доверительная вероятность определяются аналогично, как и в первом случае (при большом объеме выборки). Однако, если характеристика точности результатов измерений sx неизвестна, при малом объеме выборки замена стандартного отклонения sx его оценкой может привести к грубым ошибкам. Поэтому для оценки точности и достоверности определения математического ожидания в этом случае используется нормированная разность

(12. 6)

в которой оценка определяется соотношением (12.10), а оценка — соотношением (12.15).

Поскольку знаменатель выражения (12. 6) является случайной величиной, нормированная разность T оказывается распределенной по закону, отличному от нормального. Это распределение называют распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета).

Выражение для плотности распределения Стьюдента имеет вид

42

равенство |T| < ta,k с учетом выражения (12.36) равносильно неравенству

Следовательно, соотношение (12.37) может быть представлено в виде

Таким образом, интервал

(12.38)

накрывает неизвестное значение mx с вероятностью a, т. е. является искомым доверительным интервалом.

Последовательность решения задач определения доверительного интервала и доверительной вероятности такая же, как и в первом случае, но значение ta,k выбирают из таблицы Стьюдента, входом в которую является вероятность a и число степеней свободы k.

Для определения математического ожидания с заданной точностью и достоверностью требуется вполне определенное число измерений nтр.

Разрешив относительно n уравнение (12.33), получим

(12.39)

Для определения необходимого числа испытаний данную зависимость можно использовать:

при любом необходимом числе реализаций, если распределение результатов измерений описывается нормальным законом и характеристика точности измерений sx известна;

при большом необходимом числе реализаций (n > 30), если закон распределения результатов измерений произволь-

425

ный и характеристика точности измерений sx неизвестна. В этом случае вместо sx в формуле (12. 9) подставляется .

При малом необходимом числе испытаний в условиях, когда характеристика точности результатов измерений sx неизвестна и вместо нее используют оценку , потребный для определения математического ожидания объем выборки удовлетворяет неравенству:

(12.40)

Поскольку правая часть неравенства (12.40) зависит от n (через t ,k и ), то потребный объем выборки nтр находят методом последовательных приближений и он равен наименьшему из значений n, обеспечивающих выполнение неравенства (12.40).

12.5.4.Оцениваниестандартногоотклонения

Ограничимся рассмотрением методики оценки стандартного отклонения с помощью доверительного интервала, отвечающего доверительной вероятности , только для случая, когда результаты измерений описываются нормальным законом распределения.

Для определения границ доверительного интервала воспользуемся тем, что случайная величина

(12.41)

имеет x2 (хи-квадрат)-распределение. Плотность распределения x2 имеет вид

при t > 0;

при t # 0,

где G(*) — гамма-функция.

426

x2 (хи-квадрат)-распределение имеет один единственный параметр — число степеней свободы k. Причем, если при известном математическом ожидании mx используется оценка дисперсии в форме (12.15), то в (12.41) следует положить k = n. Если же дисперсия оценивается при неизвестном математическом ожидании, то число степеней свободы k следует принять равным (n ] 1). График плотности x2-распределения показан на рис. 12.10.

Для x2-распределения составлена таблица (табл. 11 приложения), в которой приведены значения вероятностей

(12.42)

С помощью этой таблицы находят два значения t1 и t2 которые удовлетворяют условию

Данное неравенство равносильно неравенству

Поэтому выражение (12.4 ) запишем в виде

Таким образом, интервал

(12.44)

накрывает искомое значение sx с вероятностью .

427

дят значения q1 и q2, по которым входят в таблицу x2-распреде- ления с соответствующим числом степеней свободы, где отыскивают значения t1 и t2;

вычисляют левую и правую границы доверительного интервала Ia,k:

(12.48)

Для построения центрального доверительного интервала можно использовать табл. 10 приложения. Эта таблица позволяет легко построить доверительный интервал для среднего квадратического отклонения для четырех наиболее часто употребляемых значений доверительной вероятности. В этом случае достаточно из таблицы выбрать два значения коэффициентов z1 и z2, на которые необходимо умножить полученную оценку , и получить левую и правую границы доверительного интервала.

Из выражений (12.48) видно, что длина интервала является случайной, поскольку зависит от оценки . Кроме того, сам интервал оказывается несимметричным относительно . Поэтому нельзя утверждать, что с вероятностью a ошибка определения неизвестного значения sx на основе оценки (12.15) не превышает половины длины такого интервала. Его можно использовать лишь как интервал значений sx, согласующихся с результатами измерений.

Границы симметричного интервала выбирают следующим образом.

Значения t1 и t2 в выражении (12.44) принимают равными: (12.49)

В этом случае границы доверительного интервала определяются соотношениями

429

(12.50)

Значения g определяют по таблице вероятностей

(12.51)

составленной на основе x2-распределения (табл. 12 приложения). Входом в таблицу является число степеней свободы k и величина q, определяемая по формуле

(12.52)

Приопределениидоверительногоинтервалаgпозаданным значениям и k из таблицы L(q, k) находят значение q. Границы доверительного интервала для sx определяют из равенств (12.50) при или из равенств

(12.5 )

Полученный доверительный интервал имеет случайный центр и случайную длину. Ошибка определения неизвестного значения стандартного отклонения sx на основе оценки с вероятностью не превышает по абсолютной величине половины длины симметричного доверительного интервала, т. е. g. Таблицы указанных в данном параграфе статистических распределений опубликованы в целом ряде источников, например [ , 5, 14].

Задачидлясамостоятельногорешения

1.При измерении дальности до объекта получено два значения 524 м и 506 м. Определить приближенное значение расстояния до объекта и его среднее квадратическое отклонение, если точность измерения характеризуется средним квадратическим отклонением равным 10 м.

2.Расстояние до ориентира измерено тремя способами, которые характеризуются средними квадратическими отклонениями равными 75, 0, и 15 м. Результаты измерений соответственно равны 425, 575 и 520 м. Найти:

а) приближенное значение расстояния;

4 0