baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

можно представить в виде

где — частота появления при N испытаниях возмож-

ного значения xi.

Сопоставляяполученноевыражениессоотношением(9.16), нетрудно видеть, что их правые части отличаются лишь тем, что в первом возможные значения умножаются на свои вероятности, а во втором — на частоты. Отсюда, принимая во внимание, что при неограниченном увеличении числа испытаний частота стабилизируется относительно вероятности, можно прийти к заключению о справедливости данного выше толкования смысла математического ожидания.

Математическому ожиданию можно дать следующую механическую интерпретацию. Для дискретной случайной величины оно в соответствии с равенством (9.16) представляет центр масс системы, состоящей из невесомого (или однородного) стержня, в точках с абсциссами xi которого сосредоточены массы p(xi). Для случайной величины непрерывного типа математическое ожидание, согласно соотношению (9.17), представляет абсциссу центра масс фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой f (x).

Пример 9.2. В условиях примера 9.1 найти математическое ожидание случайной величины X — числа попаданий в цель после трех независимых выстрелов с вероятностью попадания p = 0,5 при каждом из них.

Решение

Используя табл. 9.2, на основе оператора (9.16), получаем mx = 0·0,125 + 1·0, 75 + 2·0, 75 + ·0,125 = 1,5,

что соответствует механической интерпретации математического ожидания (распределение вероятностей на интервале от 0 до симметрично относительно точки x = 1,5).

Полученный результат означает, что при достаточно большом числе таких стрельб в среднем в каждой из них будет по-

01

лучено полтора попадания в цель. Подчеркнем, что дробное значение математического ожидания в данном случае вполне правомерно, поскольку это среднее значение.

Среди всех свойств математического ожидания, основные из которых будут рассмотрены ниже, выделим пока одно, состоящее в следующем. Если случайная величина Z является функцией случайной величины X, т. е. Z = w(x), а распределение аргумента X известно, то

(9.18)

при дискретном аргументе и

(9.19)

при непрерывном.

Действительно, пусть Z = w(X) = X2, а аргументом X является дискретная случайная величина с возможными значениями x1, x2, x , x4, вероятности которых соответственно равны p(x1), p(x2), p(x ), и p(x4) (одна из таких случайных величин рассматривается в примере 9.1). Тогда возможные значения zi случайной величины Z можно определить следующим образом:

При этом, очевидно, что каждое из них будет появляться так же часто, как и соответствующее возможное значение xi аргумента X. Следовательно, p(z1) = p(x1), p(z2) = p(x2), p(z ) = p(x ), p(z4) = p(x4) и, таким образом,

(9.20)

эквивалентно соотношению (9.18).

9.3.2.Характеристикирассеивания

Вкачестве числовых характеристик рассеивания используются: дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение. вероятностное (срединное) отклонение.

02

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.

(9.21)

Всоответствииссоотношениями(9.18)и(9.19)дисперсиядискретной случайной величины вычисляется с помощью оператора

(9.22)

а непрерывной — с помощью оператора

(9.2 )

Числовые значения дисперсий, получаемые на основе операторов (9.22) и (9.2 ), в дальнейшем будем обозначать симво-

лом Dx.

Пример 9.3. Найти дисперсию случайной величины в условиях примера 9.1.

Решение

Используя табл. 9.2 и принимая во внимание, что для этой случайной величины mx = 1,5, с помощью оператора (9.22) получаем

Dx = (0 2 1,5)2·0,125 + (1 2 1,5)2·0, 75 + + (2 2 1,5)2·0, 75 + ( 2 1,5)2·0,125 = 0,75.

Дисперсия является одной из важнейших характеристик распределения, поскольку отражает основную особенность случайной величины — рассеивание ее возможных значений, причем достаточно «чутко» реагирует на различные оттенки в характере этого рассеивания. Для иллюстрации сказанного ниже представлены (таблицами функции вероятности) распределения четырех дискретных случайных величин X1, X2, X , X4, имеющих одинаковые математические ожидания

, и приведены вычисленные значения

их дисперсий:

0

Анализ этих данных позволяет заключить, что при одинаковой длине интервала рассеивания большую дисперсию имеет та случайная величина, у которой крайние возможные значения более вероятны ( и ); при увеличении длины рассеивания дисперсия может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от того, как при этом распределяются вероятности возможных значений случайной величины

( и , но ).

При практическом использовании дисперсии известным неудобством является то, что ее размерность равна квадрату размерности соответствующей случайной величины. Поэтому в приложениях чаще применяется другая числовая характеристика рассеивания — среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Средним квадратическим отклонением (его принято обозначать символом sx) называется положительный квадратный корень из дисперсии, т. е.

(9.24)

Очевидно, что среднее квадратическое отклонение характеризует степень рассеивания возможных значений случайной величины не хуже дисперсии, а его размерность совпадает с размерностью соответствующей случайной величины.

Заметим, что поскольку дисперсию связывают со средним квадратическим отклонением — соотношение (9.24), ее обозначают иногда символом .

04

Вероятное(срединное)отклонениеиспользуетсявкачестве числовой характеристики рассеивания применительно только к непрерывным случайным величинам, плотность распределения которых симметрична относительно вертикали, проходящей через точку математического ожидания. Для обозначения этой характеристики используются символы Bx (русское «вэ» от слова «вероятное») или Ex.

Вероятным (срединным) отклонением называется половина интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который случайная величина попадает с вероятностью 0,5.

Иначе говоря, вероятное (срединное) отклонение определяется из условия

которое иллюстрируется рис. 9.15.

Возможность его использования в качестве характеристики рассеивания вытекает из того, что получаемая согласно условию (9.25) величина Bx однозначно определяется видом кривой f (x) и поэтому хорошо «отслеживается» степень рассеивания случайной величины (рис. 9.16).

По своему смыслу вероятное (срединное) отклонение является характеристикой, позволяющей судить о том, из какого

05

интервала будет принимать свои возможные значения случайная величина, в среднем, в половине всех ее наблюдений. Поэтому по информативности о степени рассеивания конкретной случайной величины оно более наглядно, чем дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Для сравнительной же оценки степени рассеивания нескольких случайных величин все три рассмотренные числовые характеристики одинаково удобны.

9.3.3.Моментыслучайнойвеличины

Для описания распределения скалярной случайной величины в теории вероятностей может использоваться его механическая аналогия — распределение масс системы материальных точек, расположенных на одной прямой, при условии что суммарная масса системы равна единице.

При описании распределения дискретной случайной величины можно представить, что массы, равные вероятностям P(xi), сосредоточены в точках возможных значений случайной величины. Механической аналогией распределения непрерывной случайной величины может служить такое распределение массы на прямой линии, при котором плотность массы в каждой точке равна плотности распределения f (x) случайной величины в этой точке.

Подобная аналогия в описании распределения случайной величины позволяет трактовать ее математическое ожидание как координату центра масс системы материальных точек. Механическим аналогом дисперсии случайной величины является момент инерции системы материальных точек относительно центра масс. Чем больше степень сосредоточения массы около центра системы, тем меньше момент инерции системы и тем меньше дисперсия соответствующей случайной величины.

Механическая аналогия распределения случайной величины позволяет сделать некоторое обобщение понятия числовых характеристик путем введения моментов случайной величины.

В теории вероятностей широко используются начальные и центральные моменты случайной величины [4, 5, 6, 9].

06

Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

С учетом зависимостей (9.18) и (9.19) получаем выражения для вычисления начального момента k-го порядка:

дискретной случайной величины

(9.27)

непрерывной случайной величины

(9.28)

Из начальных моментов самостоятельное значение имеет момент первого порядка

который является математическим ожиданием случайной величины.

Начальные моменты высших порядков используются главным образом для вычисления центральных моментов.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени соответствующей центрированной случайной величины

С учетом зависимостей (9.18) и (9.19) получим:для дискретной случайной величины

(9. 1)

для непрерывной случайной величины

(9. 2)

Из центральных моментов наибольшее значение имеет момент второго порядка

07

который является дисперсией случайной величины. Центральные моменты могут быть выражены через на-

чальные. Например, второй центральный момент случайной величины (или ее дисперсия) может быть выражен через первый и второй начальные моменты:

Из центральных моментов более высокого порядка находят применение моменты третьего и четвертого порядка.

Третий центральный момент используется для характеристики асимметрии распределения. Это объясняется тем, что для случайной величины, симметрично распределенной относительно своего математического ожидания, все центральные моменты нечетного порядка равны нулю. Если же распределение несимметрично, то нечетные центральные моменты отличны от нуля. За характеристику асимметрии принят центральный момент третьего порядка.

Для удобства переходят от момента третьего порядка к безразмерной характеристике, которая называется коэффициентом асимметрии и определяется по формуле

(9. 4)

Говорят, что распределение имеет положительную асимметрию (ax > 0), если мода распределения меньше математического ожидания (Mo < mx) и, наоборот, (ax < 0), если Mo > mx.

Центральныймоментчетвертогопорядкаиспользуетсядля характеристики островершинности или плосковершинности кривой плотности распределения. Безразмерная характеристика островершинности распределения случайной величины называется коэффициентом эксцесса, или просто эксцессом, и

определяется по формуле

(9. 5)

08

По значению Cx сравнивают кривую заданного распределения с кривой наиболее распространенного нормального распределения, которое принято за эталон и для которого

т. е. Cx = 0.

Кривые распределений при Cx > 0 будут более островершинными по сравнению с кривой нормального распределения. Плосковершинные распределения имеют отрицательный эксцесс.

9.4.Основныетеоретическиераспределения скалярныхслучайныхвеличин

Реальные распределения большинства встречающихся на практике скалярных случайных величин достаточно хорошо представляются их моделями, которые называют теоретическими распределениями. Основные из этих распределений рассматриваются ниже.

Биномиальноераспределение

Если распределение вероятностей на конечном множестве возможных значений xi дискретной скалярной случайной величины X, определенном последовательностью чисел 0, 1, 2,..., N, определяется формулой Бернулли, т. е.

, (9. 6)

то это распределение называют биномиальным.

Из выражения (9. 6) следует, что биномиальное распределение определяется двумя параметрами: N и p, причем можно показать, что они связаны с математическим ожиданием и дисперсией случайной величины X соотношениями

Биномиальному распределению подчиняется, например, число наступлений события при осуществлении испытаний в схеме Бернулли. В этом случае параметр N равен числу ис-

09

пытаний, а параметр p — вероятности наступления события в каждом из них.

Напомним, что значения вероятностей (9. 6) табулированы и представлены табл. приложения.

РаспределениеПуассона

Распределение Пуассона является предельным для биномиального при N → ` и p → 0, если Np = const = m.

Для распределения Пуассона функция вероятности имеет вид

(9. 8)

Множество возможных значений xi представляется бесконечным рядом чисел 0, 1, 2, , ..., а особенностью параметра m является то, что он равен математическому ожиданию и дисперсии соответствующей случайной величины, т. е.

(ввиду того, что распределение Пуассона типично для безразмерных случайных величин, такое равенство вполне правомерно).

Практически распределение Пуассона имеет место при конечном, но достаточно большом числе N испытаний в схеме Бернулли, когда вероятность близка к нулю, в связи с чем его называют иногда распределением редких событий.

Значения вероятностей (9. 8) табулированы и представлены табл. 6 приложения.

Показательное(экспоненциальное)распределение

Показательным называют распределение непрерывной случайной величины X, которое задается плотностью

10