baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Если s— стандартное отклонение кругового рассеивания точек попадания относительно точки прицеливания, то и

при r # 0,

(9.67)

при r > 0.

Функция распределения F(r) случайной величины R, подчиняющейся закону Релея, определяется равенством

при r # 0,

(9.68)

при r > 0,

а основные числовые характеристики mr и Dr вычисляют по формулам:

(9.69)

(9.70)

Графики плотности и функции распределения изображе-

ны на рис. 9.29 и 9. 0.

гамма-распределение

Случайная величина X имеет гамма-распределение, если плотность распределения определяется выражением

21

при x # 0,

(9.71)

при x > 0,

где G( ) — гамма-функция;

и b — параметры распределения (b > 0).

В частном случае, если параметр принимает лишь целочисленные значения k = 0, 1, 2, …

G(k + 1) = kG(k) = k!

и выражение для плотности распределения при x > 0 может быть переписано в виде

(9.72)

Для гамма-распределения основные числовые характеристики — математическое ожидание и дисперсию — определяют по формулам:

Гамма-распределение находит широкое применение в теории надежности. Оно используется при исследовании надежности аппаратуры в период ее приработки и работы в форсированных режимах.

Если плотность гамма-распределения определяется выражением (9.72), то говорят, что случайная величина X имеет распределение Эрланга k-го порядка. Показательное распределение является распределением Эрланга нулевого порядка. Если в выражении (9.72) положить k = 0, получим (9.40).

Одним из частных случаев гамма-распределения является x2 (хи-квадрат)-распределение с k степенями свободы, для которого плотность распределения определяется выражением

при x # 0,

(9.74)

при x > 0.

22

Формула (9.74) следует из (9.71) при b = 2, , (k = 1, 2, , …).

Если случайная величина X подчиняется x2-распределе- нию, то из (9.7 ) следует, что mx = k, Dx = 2k.

x2-распределение широко используется при статистической обработке и анализе результатов испытаний образцов про-

дукции [1, 10, 14].

РаспределениеСтьюдента

Случайная величина X имеет распределение Стьюдента, если плотность распределения определяется выражением

(9.75)

где k — целочисленный параметр, называемый числом степеней свободы.

Данное распределение широко используется при обработке результатов испытаний образцов продукции.

При неограниченном увеличении k (k > 0) плотность распределения Стьюдента приближается к плотности нормального распределения, т. е. для распределения Стьюдента нормальное распределение является предельным.

9.5.распределениеслучайноговектора

Распределения векторных случайных величин представляются теми же основными формами, что и распределения скалярных. В дальнейшем ограничимся рассмотрением этих форм применительно лишь к двумерному случайному вектору (системе двух случайных величин).

Функция вероятности используется только для случайных векторов с дискретными компонентами и обычно задается таблицей, где указываются возможные значения xi и yi компонент X и Y случайного вектора {X, Y}, а также вероятности p(xi, yi) всех пар этих значений (табл. 9. ).

2

Очевидно, что при этом

Функцией распределения двумерного случайного вектора {X, Y} называется функция F(x, y) двух аргументов x и y, которая при каждой комбинации их значений задает вероятность совместного выполнения двух неравенств: X < x и Y < y, т. е.

(9.77)

24

Она представляется в трехмерном пространстве ступенчатой (для случайного вектора {X, Y} с дискретными компонентами) или гладкой поверхностью (для случайного вектора с непрерывными компонентами).

Основными свойствами функции распределения двумерного случайного вектора являются следующие:

1. 0 # F(x, y) # 1, поскольку функция F(x, y) представляется вероятностями.

2.

(9.78)

в чем нетрудно убедиться, обращаясь к рис. 9. 1.

. Функция распределения F(x, y) — неубывающая функция каждого из своих аргументов

F(x2, y) $ F(x1, y), если x2 > x1, F(x, y2) $ F(x, y1), если y2 > y1,

F(x2, y2) $ F(x1, y1), если x2 > x1 или y2 > y1,

yчто опять-таки следует из рис. 9. 1.

25

Отсюда следует, что вероятность совпадения случайной точки {X, Y} с любой точкой плоскости, как и вероятность ее попадания на любую линию этой плоскости, равна нулю.

Плотностью распределения двумерного случайного вектора {X, Y} называется функция f (x, y) аргументов, которая определяется следующим образом:

(9.80)

т. е. является пределом отношения вероятности попадания случайной точки {X, Y} в прямоугольник со сторонами Dx и Dy, примыкающий к точке (x, y), когда оба его размера стремятся к нулю (если такой предел существует).

С учетом соотношения (9.79) равенство (9.80) можно представить в виде

(9.81)

что обеспечивает возможность нахождения плотности f (x, y), если функция распределения F(x, y) задана.

Геометрически плотность распределения f (x, y) представляется поверхностью в трехмерном пространстве и используется применительно только к случайным векторам с непрерывными компонентами.

Плотность распределения двумерного случайного вектора имеет следующие основные свойства.

1. f (x, y) $ 0 как предел отношения неотрицательной величины к положительной.

что непосредственно вытекает из соотношения (9.81).

. Вероятность попадания случайной точки {X, Y} в какуюлибо область G на плоскости x0y определяется равенством

26

9.6.частныеиусловныераспределениякомпонент случайноговектора

9.6.1.Частныераспределения

Распределение одной или нескольких компонент, входящих в случайный вектор (систему случайных величин), называют частным распределением.

Частные распределения случайных величин, составляющих систему, часто используются при решении практических задач. Например, если рассматривается система трех случайных величин {X, Y, Z}, то помимо частных распределений отдельных случайных величин рассматривают и частные распределения различных пар случайных величин {X, Y}, {X, Z}, {Y, Z}.

В дальнейшем рассмотрим частные распределения для системы двух случайных величин.

При известном распределении вектора {X, Y} частные распределения определяются следующим образом. Предположим компоненты X и Y — дискретные случайные величины, совместное распределение которых задано табл. 9. . Вероятности p(xi), p(yi) возможных значений компонент X и Y, которые представляют частные распределения каждой из них, определяются выражениями

(9.85)

Таким образом, вероятности возможных значений компоненты X получаются суммированием записанных в табл. 9. чисел по строкам, а вероятности возможных значений компоненты Y — суммированием этих чисел по строкам.

Если распределение случайного вектора {X, Y} задано функцией распределения, то с учетом свойства функции распределения частные функции распределения F(x) и F(y) следует определять из соотношений

28

(9.86)

Для вектора с непрерывными компонентами плотности f (x) и f (y) соответствующих частных распределений могут быть получены на основе равенства (9.11)

и

В случае если распределение случайного вектора {X, Y} задано плотностью f (x, y), то плотности f (x) и f (y) частных распределений его компонент могут быть получены из соотношений

(9.87)

Выражения (9.87) получены исходя из свойств плотности и функции распределения (равенства 9.81 и 9.82).

Из соотношений (9.87) следует, что геометрически плотность f (x) частного распределения компоненты X при каждом значении аргумента x представляется площадью вертикального сечения фигуры, ограниченной поверхностью f (x, y), причем секущая плоскость проходит через точку x перпендикулярно оси 0x (рис. 9. ). Аналогичную геометрическую интерпретацию дают и плотности f (y) частного распределения компоненты Y.

Пример 9.4. Мобильная точечная цель свободно маневрирует на участке местности, который представляется кругом радиуса R. Информация о фактическом положении цели отсутствует. Найти распределения ее прямоугольных координат относительно центра области маневрирования.

Решение

По условиям задачи положение цели в произвольный момент времени описывается двумерным случайным вектором,

29

компонентами которого являются ее текущие координаты X и Y в заданной системе координат. Плотность f (x, y) распределения этого случайного вектора может быть получена следующим образом. Поскольку информация о фактическом текущем положении цели отсутствует, то нахождение ее в окрестности любой точки круга радиуса R является равновозможным. Используя геометрический способ определения вероятности, получим

Согласно соотношению (9.80) распределение случайного вектора {X, Y} описывается плотностью

при x2 + y2 > R2,

представленной на рис. 9. 4 (равномерное распределение в круге радиуса R с центром в начале координат).

Плотность f (x, y) отлична от нуля для любого значения x

при

(рис. 9. 5), а для любого значения y при

0