baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

Таким образом, при отсутствии корреляции между нормально распределенными случайными величинами они оказываются независимыми.

Если компоненты X и Y двумерного вектора независимы и дисперсии (стандартные отклонения) одинаковы, т. е. sx = sy = s, то нормальный закон распределения называют круговым. В этом случае плотность нормального закона распределения имеет вид

(9.112)

В приложениях [5] часто встречаются задачи, сводящиеся к вычислению вероятности попадания нормально распределенной случайной точки {X, Y} в прямоугольник (квадрат) или круг.

Вероятность попадания в прямоугольник (квадрат) вычисляется наиболее просто, если его стороны параллельны осям

Вероятность попадания в круг, центр которого совпадает с центром кругового нормального распределения, вычисляется

41

аналитически. Для этого частного случая расчетная формула может быть получена следующим образом. Подставив (9.112) в (9.8 ), получим

Перейдя от прямоугольных координат к полярным координатам r и w, т. е.

полагая x = rcos w, x = rsin w и учитывая, что sin2w + cos2w = 1 получим:

(9.114)

Формула (9.114) определяет вероятность попадания нормально распределенной случайной точки в круг радиуса R, центр которого совмещен с центром кругового нормального распределения.

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Плотность распределения случайной величины Х задана выражением

при при

42

Найти а) коэффициент A и функцию распределения; б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. Монету подбрасывают 4 раза. Найти выражение для функции распределения числа выпадений герба. Определить математическое ожидание и дисперсию числа выпадений герба.

. При работе радиотехнического устройства время от времени возникают сбои. Число сбоев за сутки подчиняется закону Пуассона с параметром m = 1,5. Определить вероятности того, что:

а) за двое суток не будет ни одного сбоя; б) в течение суток будет хотя бы один сбой;

в) за неделю произойдет не менее трех сбоев.

4.Интенсивность отказов радиотехнического устройства равна 0,001 1/ч. Определить вероятность того, что устройство проработает более 500 ч.

5.Из скольких параллельно соединенных элементов должен быть собран блок, чтобы вероятность его безотказной работы в течение 100 ч была не менее 0,9, если время работы каждого элемента имеет показательное распределение с математическим ожиданием равным 200 ч?

6.Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (2–8). Записать выражения для плотности и функции распределения. Определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

7.Измерение дальности до объекта сопровождается систематической и случайной ошибками. Систематическая ошибка равна 50 м в сторону уменьшения дальности. Случайная ошибка подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 100 м. Определить:

а) вероятность измерения дальности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 150 м;

б) вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинную.

8.Диаметр валиков, изготавливаемых на станке, распределен по нормальному закону с математическим ожиданием

4

50 мм и средним квадратическим отклонением 0, мм. Найти процент годных валиков, если бракуются валики, диаметр которых меньше 49,7 мм и больше 50,6 мм.

вопросыдлясамопроверки

1.Случайны величины (СВ) и их классификация

2.Что такое распределение случайной величины?. Что такое функция вероятности СВ?

4.Что такое функция распределения?

5.Как построить график функции распределения диск-

ретной СВ?

6.Каковы свойства функции распределения?

7.Что такое плотность распределения?

8.Каковы свойства плотности распределения?

9.Назовите характеристики положения СВ?

10.Назовите характеристики рассеивания СВ?

11.Каковы свойства математического ожидания СВ?

12.Каковы свойства дисперсии СВ?

1 . Что такое моменты СВ?

14.Каковы основные распределения СВ?

15.Приведите примеры случайных величин, имеющих теоретические распределения.

16.Какими параметрами определяется биномиальное распределение?

17.При каких условиях осуществляется переход от биномиального распределения к распределению Пуассона?

18.Какими параметрами определяется равномерное распределение? Как по ним рассчитываются его числовые характеристики?

19.Укажите одно из важнейших свойств показательного (экспоненциального) распределения. Каков физический смысл параметра распределения и как определяются его числовые характеристики?

20.Какими параметрами определяется нормальное распределение? Поясните их физический смысл.

44

21.Перечислите характеристики рассеивания и укажите связь между ними.

22.Как определяется вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал

спомощью табличной функции нормального распределения и табличной функции Лапласа?

2 . Поясните связь между распределением Релея и нормальным распределением. Как их параметры связаны между собой?

24.В какой области находит широкое применение гаммараспределение? Какие распределения являются частными случаями гамма-распределения?

25.Где используется распределение Стьюдента? При каких условиях оно совпадает с нормальным распределением?

26.Что означает распределение случайного вектора?

27.Назовите числовые характеристики векторных СВ.

28.Поясните смысл понятия корреляция.

45

10.ФункциислучайныхаргуМентОв

10.1.Общаяхарактеристиказадачисследованияфункций случайныхаргументов

На практике широко распространены задачи, связанные с необходимостью использования при их решении теоретиковероятностного аппарата исследования функций случайных аргументов.

Функцией случайных аргументов называют такую случайную величину Y = w(X1, X2, …, Xn), возможные значения которой связаны с возможными значениями случайных аргументов функциональной зависимостью y = w(x1, x2, …, xn). Областью задания функции является область возможных значений системы аргументов {X1, X2, …, Xn}.

Предположим, величина Y является функцией нескольких случайных величин X1, X2, …, Xn:

Y = w(X1, X2, …, Xn),

и пусть известны характеристики случайных аргументов. В этом случае возникают две задачи: первая частная задача — определение числовых характеристик функции и вторая общая задача — нахождение закона распределения функции.

Аналогичные задачи имеют место и при рассмотрении функционального преобразования системы случайных величин:

Y1 = w1(X1, X2, …, Xn);

…………………………

Ym = wm(X1, X2, …, Xn).

Математический аппарат исследования функций случайных аргументов в теории вероятностей разработан достаточно полно. Ограничимся рассмотрением лишь части этого аппарата, используемойприрешениинаиболеетипичныхзадачоценкиэффективности функционирования военно-технических систем.

Наибольший интерес для практики имеет определение числовых характеристик функций. При решении этой задачи

46

не во всех случаях необходимо располагать законом распределения аргументов, а достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики аргументов. Предварительно рассмотрим ряд теорем о математических ожиданиях и дисперсиях, которые используются для построения методов определения числовых характеристик функций случайных аргументов.

10.2.теоремыочисловыххарактеристикахслучайныхвеличин

Сформулируем без доказательства основные теоремы о числовых характеристиках случайных величин. Содержание этих теорем определяет свойства математического ожидания и дисперсии, знание которых необходимо для решения широкого круга прикладных задач исследования функций случайных аргументов [1, 4, 5, 11].

Теоремыоматематическихожиданиях

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Математическое ожидание произведения постоянной величины C на случайную величину X равно произведению этой постоянной на математическое ожидание случайной величины:

т. е. постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания.

. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

(10. )

Данное выражение справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.

Пример 10.1. Производится обстрел цели, состоящей из n отдельных объектов. Известны вероятности поражения каж-

47

дого объекта p1, p2, …, pn. Определить математическое ожидание числа пораженных объектов.

Решение

Введем в рассмотрение случайную величину Xi, принимающую одно из двух значений: 1, если i-й объект поражен, или 0, если i-й объект не поражен. Тогда случайная величина X — число пораженных объектов — равна сумме величин Xi (i = 1, 2, …, n):

X = X1 + X2 + … + Xn.

Математическое ожидание числа пораженных объектов будет равно

Случайная величина Xi дискретного типа. Она принимает значение, равное единице, с вероятностью pi и значение, равное нулю, с вероятностью (1 2 pi). Поэтому

M[Xi] = 1·pi + 0· (1 2 pi) = pi,

а математическое ожидание числа пораженных объектов

При pi = const = p

M[X] = np.

Таким образом, математическое ожидание числа пораженных объектов равно сумме вероятностей поражения каждого объекта. В частном случае, когда вероятность поражения каждого объекта одинакова, математическое ожидание числа пораженных объектов равно произведению этой вероятности на число объектов (в этом случае число пораженных объектов имеет биномиальное распределение).

4. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс момент связи этих величин:

48

Если случайные величины X и Y некоррелированы, то момент связи Kxy равен нулю и

Для произвольного числа сомножителей математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

(10.6)

Теоремыодисперсиях

1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

2. Дисперсия произведения постоянной величины Cна случайную величину X равна произведению квадрата постоянной величины на дисперсию случайной величины:

. Дисперсия суммы двух случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий и удвоенного момента связи:

При произвольном числе слагаемых

(10.10)

а если они независимы (или хотя бы некоррелированы), то

(10.11)

Покажем применение теорем о числовых характеристиках для решения некоторых практических задач.

1. Математическое ожидание разности любой случайной величины и ее математического ожидания всегда равно нулю:

49

M[X 2 mx] = M[X] 2 M[mx] = mx 2 mx = 0.

Отметим, что разность X 2 mx обычно называют центрированной случайной величиной.

2. Применяя первые три теоремы о математических ожиданиях, можно доказать справедливость более простой формулы для вычисления дисперсии случайной величины:

Действительно,

. Используя третью и четвертую теоремы о математических ожиданиях, можно показать, что момент связи двух случайных величин

X = Z + U,

Y = Z + V,

где Z, U, и V — независимые случайные величины, равен дисперсии случайной величины Z (дисперсии их общей части):

Kxy = Dz.

4. Из второй теоремы о математических ожиданиях следует, что момент связи случайных величин

определяется равенством

(10.1 )

которое получается в результате преобразований исходного выражения для :

5. Согласно первой и третьей теоремам о дисперсии с учетом очевидного равенства Kxc = 0 имеем

50