D[X + C] = Dx,
т. е. при добавлении к случайной величине любой постоянной ее дисперсия не изменяется.
6. Используя вторую теорему о математических ожиданиях и вторую теорему о дисперсиях применительно к так называемой центрированно-нормированной случайной величине
(10.14)
получим
Таким образом, математическое ожидание любой центри- рованно-нормированной случайной величины равно нулю, а ее дисперсия (стандартное отклонение) — единице.
Отметим, что замена переменной интегрирования (см. 9.5 ), использованная при рассмотрении табличной функции нормального распределения (9.52), равносильна преобразованию случайной величины X в соответствующую ей центрированнонормированную случайную величину (10.14), т. е. линейному преобразованию.
Поскольку выражение (9.52) представляет функцию нормального распределения с параметрами mx = 0 и sx = 1, получается, что при нормальном распределении случайной величины ее линейное преобразование изменяет только значения параметров mx = 0 и sx = 1, а не вид самого распределения. Сделанный вывод оказывается справедливым для любых распределений случайных величин и может быть обобщен следующей формулировкой: при линейном преобразовании случайной величины вид ее распределения не изменяется.
10.3.Определениечисловыххарактеристикфункций случайныхаргументов
Рассмотрим задачу определения числовых характеристик функций случайных аргументов в следующей постановке. Случайная величина Z является функцией системы случайных аргументов X1, X2, …, Xn. Вид функции Z = w(X1, X2, …, Xn) и ее параметры известны, а числовые характеристики системы случайных величин {X1, X2, …, Xn} заданы совокупностью значений математических ожиданий 
и корреляцион-
Требуется найти числовые характеристики mz и Dz случайной величины Z.
Линейнаяфункция
Если функция Z = w(X1, X2, …, Xn) линейна относительно своих аргументов, так что
(10.15)
то решение задачи получается в результате непосредственного применения теорем о числовых характеристиках.
Так, используя первые три теоремы о математических ожиданиях, из выражения (10.15) получаем
(10.16)
т. е. математическое ожидание линейной функции случайных аргументов представляется такой же функцией их математических ожиданий.
Дисперсия линейной функции вида (10.15) определяется формулой
(10.17)
которая может быть получена из выражения (10.15) в результате применения теорем о дисперсиях с учетом того, что мо-
мент связи случайных величин (10.12) определяется равенс-
твом (10.1 ).
Если все аргументы линейной функции вида (10.15) независимы (или хотя бы некоррелированы), то из формулы (10.17) следует, что
(10.18)
Нелинейнаяфункция.Методлинеаризации
Применительно к функции Z = w(X1, X2, …, Xn), нелинейной относительно системы своих аргументов, решение задачи в сформулированной выше постановке может быть получено, как правило, лишь приближенно на основе метода линеаризации. Сущность метода линеаризации заключается в том, что нелинейную функцию заменяют некоторой линейной и затем по уже известным правилам находят числовые характеристики этой линейной функции, считая их приближенно равными числовым характеристикам нелинейной функции.
Сущность этого метода рассмотрим на примере функции одного случайного аргумента.
Если случайная величина Z является заданной функцией
случайного аргумента X, то ее возможные значения z связаны с возможными значениями аргумента x функцией того же вида, т. е.
(например, если Z = sin X, то z = sin x).
Разложим функцию (10.20) в ряд Тейлора в окрестности точки x = mx, ограничиваясь только первыми двумя членами разложения, и будем считать, что
где w(mx) — значение функции (10.20) при x = mx;
— значение производной функции (10.20) по аргу-
менту x при x = mx.
Такое допущение равносильно замене заданной функции (10.19) линейной функцией
На основе теорем о математических ожиданиях и дисперсиях получим расчетные формулы для определения числовых характеристик mz и Dz в виде:
mz = w(mx); |
(10.21) |
|
(10.22) |
Заметим, что в рассматриваемом случае стандартное отклонение sz следует вычислять по формуле
(10.2 )
(Модуль производной 
здесь берется потому, что
она может быть и отрицательной.)
Применение метода линеаризации для нахождения числовых характеристик нелинейной функции
Z = w(X1, X2, …, Xn) |
(10.24) |
произвольного числа случайных аргументов приводит к расчетным формулам для определения ее математического ожидания, имеющим вид
(10.25)
(10.26)
z = w(x1, x2, …, xn) по аргументам xi и xj соответственно, вычисленные с учетом знаков в точке , т. е. путем замены всех входящих в них аргументов x1, x2, …, xn их математическими ожиданиями.
Наряду с формулой (10.26) для определения дисперсии Dz можно использовать расчетную формулу вида
(10.27)
где — коэффициент корреляции случайных аргументов Xi
и Xj.Применительно к нелинейной функции независимых (или хотя бы некоррелированных) случайных аргументов формулы
(10.26) и (10.27) имеют вид
(10.28)
Формулы, основанные на линеаризации нелинейных функций случайных аргументов, позволяют определять их числовые характеристики лишь приближенно. Точность вычисления тем меньше, чем больше заданные функции отличаются от линейных и чем больше дисперсии аргументов. Оценить возможную ошибку в каждом конкретном случае не всегда удается.
Для уточнения результатов, полученных по данному методу, может быть использован прием, основанный на сохранении в разложении нелинейной функции не только линейных, но и некоторых последующих членов разложения, например второго порядка.
Кроме того, числовые характеристики нелинейной функции случайных аргументов можно определять на основе предварительного отыскания закона ее распределения при заданном распределении системы аргументов. Однако нужно иметь
55
функции
где |
и |
— частные производные от |
в виду, что аналитическое решение такой задачи часто оказывается слишком сложным. Поэтому для нахождения числовых характеристик нелинейных функций случайных аргументов широко используется метод статистического моделирования.
Основой метода является имитация серии испытаний, в каждом из которых путем моделирования получается определенная совокупность x1i, x2i, …, xni значений случайных аргументов X1, X2, …, Xn из множества, отвечающего их совместному распределению. Полученные значения с помощью заданного соотношения (10.24) преобразуются в соответствующие значения zi исследуемой функции Z. По результатам z1, z2, …, zi, …, zk всех k таких испытаний искомые числовые характеристики вычисляются методами математической статистики.
Пример 10.2. Определить на основе метода линеаризации математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины
Z = cos X,
если mx = p/ , s = p/ 14 1022.
Решение
1. По формуле (10.20) получаем
mz = cos(mx) = cos(p/ ) = 0,5.
2. Используя таблицу производных элементарных функций, находим
и вычисляем значение этой производной в точке x = mx = p/ :
. По формуле (10.2 ) получаем
Пример 10.3. Определить на основе метода линеаризации математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины
если 
Решение
1.По формуле (10.25) получаем
2.Запишем формулу (10.27) для функции двух случайных аргументов
. Находим частные производные от функции Z по аргументам X1 и X2:
ивычисляем их значения в точке 
:
4.Подставив полученные данные в формулу для расчета
дисперсии случайной величины Z, получим Dz = 1. Следовательно и sz = 1.
10.4.распределениеоднозначногопреобразования случайныхвеличин
Ранее были изложены правила определения числовых характеристик функций случайных величин. На практике часто приходится решать задачи по определению закона распределения функции по известным законам распределения случайных аргументов. В дальнейшем будем рассматривать только непрерывные функции непрерывных случайных величин [12].
Предположим, что система случайных величин {Y1, Y2} получена в результате функционального преобразования, проведенного над системой случайных величин {X1, X2}:
Y1 = w1(X1, X2); |
|
Y2 = w2(X1, X2); |
(10.29) |
и пусть это преобразование будет взаимно однозначным, т. е. каждой паре возможных значений (y1, y2) соответствует только одна совокупность значений (x1, x2) и наоборот.
Известна плотность распределения случайных аргументов f (x1, x2) и требуется определить плотность распределения
функции f (y1, y2).
Систему случайных величин можно рассматривать как случайную точку, координаты которой являются случайными величинами, входящими в систему. Рассмотрим элементарную область dSx для системы координат x10x2 и отвечающую ей элементарную область dSy для системы y10y2 (рис. 10.1).
Каждой точке элементарной области dSy отвечает только одна вполне определенная точка области dSx. Поэтому вероятность попадания случайной точки в область dSy равна вероятности попадания в область dSx:
f (y1, y2)dSy = f (x1, x2)dSx. |
(10. 0) |
Отсюда искомая плотность распределения запишется в виде
(10. 1)
Рис. 10.1. Взаимно однозначное соответствие систем случайных величин
Известно, что отношение элементарных областей dSx и dSy при переходе от переменных x1, x2 к переменным y1, y2 равно якобиану преобразования:
(10. 2)
Такимобразом,плотностьраспределенияприоднозначном функциональном преобразовании системы двух случайных величин определяют из выражения
f (y1, y2) = |I|f (x1, x2). |
(10. ) |
Здесь берется модуль якобиана преобразования, так как
f (y1, y2) $ 0 и f (x1, x2) $ 0.
Полученныйрезультатможетбытьраспространенинаслучай функционального преобразования системы произвольного числа случайных величин. В общем случае, если известен якобиан преобразования при переходе от координат (x1, x2, …, xn) к координатам (y1, y2, …, yn)
(10. 4)
и если это преобразование взаимно однозначно, плотность распределения системы случайных величин {Y1, Y2, …, Yn} определяется по формуле
f (y1, y2, …, yn) = | I | f (y1, y2, …, yn), |
(10. 5) |
где I определяется выражением (10. 4).
Рассмотрим некоторые частные случаи однозначного преобразования случайных величин.
Распределениемонотоннойфункцииоднойслучайнойвеличины
Пусть Y = w(X) является монотонной функцией. Значит, между величинами X и Y имеется взаимное и однозначное соответствие. Тогда исходя из формулы (10. 5) получим
f (y) = |I|f (x). |
(10. 6) |
Но якобиан преобразования будет равен I = dx/dy. Тогда
(10. 7)
Распределениелинейнойфункцииоднойслучайнойвеличины
Предположим, что Y = aX + b. Обратная функция относительно Y запишется в виде X = (Y 2 b)/a.
Рассматриваемая функция является монотонной. Поэтому, используя выражение (10. 7) и найдя dx/dy = 1/a, получим
(10. 8)
Если, например, случайная величина X распределена по нормальному закону, то в соответствии с (10. 8) найдем
