baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

7. Проверяется условие u < u . Если оно выполняется, то расхождение между экспериментальным (статистическим) и теоретическим законами распределения несущественно (гипотеза H0 принимается). В противном случае гипотеза H0 бракуется.

Достоинством метода К. Пирсона является то, что его можно применять и в том случае, когда известен только вид теоретического распределения, но не известны параметры распределения.

В этом случае параметры распределения заменяются их оценками, полученными по результатам испытаний, а число степеней свободы x2-распределения ПС уменьшается на число заменяемых параметров.

К недостаткам метода К. Пирсона относят следующее:

метод применим при большом объеме выборки (n $ 100), так как распределение ПС описывается x2-распределением только при достаточно большом n;

достоверность выводов существенно зависит от способа разбиения выборки на интервалы. Число интервалов должно быть не менее 10, а количество попаданий исследуемой переменной X в любой из интервалов — не менее 5. Если это условие не выполняется, то интервалы объединяют.

Пример 13.1. Радиоактивное вещество наблюдалось в 1 00 испытаниях, при каждом из которых регистрировалось число частиц, попавших в счетчик за один и тот же промежуток времени.

Результаты испытаний представлены в табл.1 . .

Таблица 13.3

Установить закон распределения числа частиц, выделяющихся при радиоактивном распаде за данный промежуток времени.

452

Решение

Исходя из сущности рассматриваемого явления, предполагаем, что распределение числа частиц подчиняется закону Пуассона, и проверяем выдвинутую гипотезу с помощью соответствующего ПС.

1. По формуле (1 .14) при xcpj = j находим значение параметра распределения Пуассона, соответствующее полученным результатам:

* = , 85.

2. По формуле (1 .1 ) определяем число степеней свободы ПС k, приняв m = 11 и s = 1

k = 11 2 1 2 1 = 9.

. Принимаем уровень значимости ПС = 0,10 вероятностей x2-распределения, и по табл. 1 приложения находим соответствующее критическое значение u = 14,7.

4. Рассчитываем по формуле (1 .12) значение ПС u*, соответствующее результатам испытаний. При этом случайные величины Nj заменяем числами nj, а вероятности Pj( *) определяем с помощью таблицы вероятностей (см. приложение табл. 6) распределения Пуассона при m = * и k = j = 0, 1, 2, …, 10 (см.

табл. 1 .4).

45

Окончание табл. 13.4

5. Сопоставляя значения u = 9,9 и u = 14,7, приходим к выводу о том, что результаты испытаний не противоречат выдвинутой нами гипотезе о виде закона распределения.

13.3.Методыпроверкигипотезопараметрахзаконов распределения

13.3.1.Проверкагипотезоравенствематематическихожиданий

Предположим, что имеются две нормально распределенные случайные переменные X и Y, математические ожидания которых неизвестны. Над этими переменными производят соответственно n1 и n2 наблюдений, т. е. получают случайные вы-

борки , . По этим выборкам находят оценки математических ожиданий

(1 .16)

Требуется по полученным оценкам проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий mx и my.

Такая задача ставится потому, что, как правило, оценки математических ожиданий оказываются различными. Это обусловлено тем, что отличны и оценки и математические ожидания, либо математические ожидания одинаковы, а различие оценок вызвано случайными причинами.

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. mx и my одинаковы, то различие в оценках и будет за счет

454

действия случайных причин. В противном случае это различие обусловлено отличием математических ожиданий.

При проверке гипотез о равенстве математических ожиданий следует различать два случая: в первом — точность результатов измерений известна (известны стандартные отклонения sx и sy), во втором — точность неизвестна.

точностьрезультатовизмеренийизвестна

При проверке нулевой гипотезы в этом случае в качестве показателя согласованности принимают случайную величину

(1 .17)

Показатель согласованности (1 .17) распределен по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, при условии, что справедлива нулевая гипотеза и дисперсия равна единице, т. е. u [ N(0,1).

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы, которая может быть сформулирована тремя способами:

H1: mx my; H1: mx > my; H1: mx < my.

Рассмотрим методику проверки гипотезы H0 для первого способа, как наиболее часто встречающегося при решении практических задач

H0: mx = my; H1: mx my.

В этом случае строят двустороннюю критическую область так, чтобы вероятность попадания в нее значений ПС при предположении о справедливости H0 была равна принятому уровню значимости /2 (рис. 1 .5).

Наибольшая мощность критерия обеспечивается в том случае, когда левая и правая границы критической области выбраны так, что вероятность попадания ПС в каждый из двух интервалов критической области равна /2, т. е.

455

f(u)

Рис. 13.5

Вероятность попадания ПС в критическую область можно определить с использованием табличной функции Лапласа

или табличной функции нормального закона распределения

P(|u| <ua) = 1 2 FT(ua) = 1 2 a/2.

Откуда находим

(13.19)

или

Из таблицы функции Лапласа или функции нормального закона распределения по аргументу (1 2 a) или (1 2 a/2) выбираем значение ua.

Таким образом, проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий для рассматриваемого случая производится

вследующем порядке:

1.В соответствии с формулами (13.16) по результатам ис-

пытаний находят оценки математических ожиданий , .

456

априорная информация о том, что математическое ожидание случайной переменной X больше или меньше математического ожидания случайной переменной Y. Сущность проверки нулевой гипотезы аналогична вышеописанной, но в этих случаях строят правостороннюю и левостороннюю критические области соответственно.

Определение границы u покажем на примере определения границы правосторонней критической области

Перепишем выражение (1 .5) в виде

Поскольку FT(`) = 1 и mu = 0, su = 1, то

Следовательно, FT(u ) = 1 2 2

и

Граница критической области u определяется по таблице функции Лапласа, входом в которую является величина (1 22 ).

Аналогично определяется граница левосторонней критической области.

Описанный метод проверки гипотез можно применять, если случайные переменные X и Y распределены по нормальному закону и характеристики точности результатов измерений известны. При нарушении одного из этих предположений метод не применим.

Однако если объем выборок большой (n $ 0), то распределение оценок математических ожиданий и приближенно можно считать нормальным. Следовательно, и показатель согласованности, в качестве которого принимают случайную величину

458

будет иметь нормальное распределение. Проверку гипотезы можно проводить по описанной выше методике, но к полученным выводам следует относиться с осторожностью.

точностьрезультатовизмеренийнеизвестна

Решать задачу проверки гипотезы, в случае если число измерений будет менее 0 (n < 0), описанным выше методом нельзя, так как распределение ПС

будет отлично от нормального.

Задачу проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий можно решить лишь при наличии дополнительной информации о соотношении дисперсий

В частном случае дисперсии случайных величин X и Y и могут быть равны ( = 1).

Если соотношение дисперсий известно, то в качестве ПС принимают случайную величину

(1 .21)

Данный показатель согласованности имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы

459

Аналогично, как и при проверке гипотезы о равенстве математических ожиданий при известной точности результатов измерений, критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы. Например,

при H0: mx = my, H1: mx my

строят двустороннюю критическую область. Поскольку кривая плотности распределения Стьюдента симметрична относительно нуля, то критическая область является симметричной. Границы критической области ±u могут быть определены либо с помощью таблицы распределения Стьюдента (табл. 8 приложения), в которой представлены значения вероятности

где f (u) — плотность распределения Стьюдента,

либо с помощью таблицы функции распределения Стьюдента (табл. 12 приложения).

Порядок проверки гипотезы такой же, как и при проверке гипотезы в случае, если точность результатов измерений известна.

13.3.2.Проверкагипотезоравенстведисперсий

Задачи проверки гипотез о равенстве дисперсий приходится решать при сравнении точности приборов, методов измерений, погрешности показаний измерительных устройств и т. д.

Подобные задачи формулируются следующим образом. Предположим, имеются две нормально распределенные случайные величины X и Y, математические ожидания и дисперсии которых неизвестны.

При наблюдении за этими переменными получены случайные выборки (X1, X2, …, Xn,) и (Y1, Y2, …, Yn) соответственно.

При обработке результатов наблюдений найдены оценки дисперсий

460