baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

бракованным, а также вероятности того, что это бракованное изделие сделано на первой, второй и третьей линиях.

Решение

Обозначим через H1, H2, H события, состоящие в том, что взятое изделие произведено соответственно на первой, второй и третьей линиях. Согласно условиям задачи P(H1) = 0,2; P(H2) = 0,1; P(H ) = 0,5 и эти события образуют полную группу несовместных событий, т. е. сумма их вероятностей равна 1.

ОбозначимчерезAсобытиесостоящеевтом,чтонаугадвзятое изделие оказалось бракованным. Согласно условиям задачи

P(A/H1) = 0, 5; P(A/H2) = 0,02; P(A/H ) = 0,0 .

Используя формулу полной вероятности, получаем

P(A) = 0,05·0,2 + 0,02·0, + 0,0 ·0,5 = 0,0 1.

Априорные вероятности того, что наугад взятое изделие изготовлено на первой, второй или третьей линии, равны соот-

ветственно 0,2; 0, ; 0,5.

Допустим, что в результате контроля взятое наугад изделие оказалось бракованным; определим теперь апостериорные вероятности того, что это изделие изготовлено на первой, второй или третьей линиях. По формуле Байеса имеем

Задачидлясамостоятельногорешения

1. Прибор состоит из трех последовательно включенных блоков. События означают исправность блоков. Выразить всеми возможными способами событие — отсутствие сигнала на выходе прибора через события Ai и .

281

2. Прибор состоит из трех параллельно включенных блоков. События означают исправность блоков. Выразить всеми возможными способами событие B — наличие сигнала на выходе через события Ai и .

. Три стрелка, имея в наличии по два патрона, стреляют по мишени по очереди, расходуя по одному патрону. Победившим считается первый попавший в мишень. Через Ai и (попадание и промах) выразить события:

Bi — состязание выиграет i-й стрелок; C — состязание не выиграет никто.

4.Каждая из четырех изготовленных деталей может ока-

заться годной (Ai) либо дефектной (). Выразить события, состоящие в том, что:

а) ровно три детали имеют дефект; б) все детали годные; в) хотя бы одна имеет дефект;

г) не более двух имеют дефект; д)только вторая имеет дефект.

5.По линии связи передается сигнал. Событие означает, что сигнал искажен на промежуточном пункте, событие — сигнал искажен на конечном пункте. Пояснить смысл следую-

щих событий:

а) , б) AB, в) A + B, г) , д)

6.В барабане револьвера семь гнезд. В пять из них вложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, и после остановки нажимается спусковой крючок. Найти вероятность того, что при двукратном осуществлении такого испытания:

а) выстрела не произойдет; б) произойдет два выстрела; в) произойдет один выстрел.

Примечание: Осечка исключена.

7.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наугад вынимают 2 шара. Найти вероятности того, что:

а) оба шара белые; б) оба шара черные;

282

в) шары разного цвета.

8.В коробке среди пятнадцати деталей имеются 5 бракованных. Определить вероятность того, что среди наугад взятых четырех деталей не менее двух окажутся неисправными.

9.В урне находятся белых, 4 черных и 8 красных шаров. Из нее последовательно извлекают по одному шару. Определить вероятность того, что белый шар появится раньше черного.

10.При контроле качества продукции из каждой партии в 100 изделий проверяются случайным образом выбранные 50, и партия принимается, если в выборке оказалось не более одного дефектного изделия. Какова вероятность принять партию, содержащую 5 дефектных изделий?

11.В урне содержится 5 пронумерованных шаров. Из нее последовательно наугад извлекают по одному все шары. Определить вероятность того, что шары будут идти в возрастающем порядке.

12.Из урны, содержащей 6 белых, 4 красных и черных шара, наугад вынимают три шара. Найти вероятность того, что они будут:

а) одного цвета; б) разного цвета.

1 . Из полного набора домино (28 костей) наугад вынимают две кости. Первая вынутая кость оказалась 2-2. Найти вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

14.Из полного набора домино (28 костей) наугад вынимают две кости. Первая вынутая кость оказалась 2-4. Найти вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

15.Из полного набора домино (28 костей) наугад вынимают две кости. Найти вероятность того, что их можно приставить друг к другу.

16.Вероятность того, что новорожденный доживет до 5 лет, равна 0,95; вероятность того, что он доживет до 60 лет, равна 0,6. Какова вероятность человеку, прожившему 5 лет, дожить до 60 лет?

17.В ящике находятся 10 деталей, 4 из которых имеют дефект. Из него последовательно с возвращением извлекают

28

по одной детали до тех пор, пока не встретится деталь без дефекта. Какова вероятность того, что придется извлечь не более трех деталей.

18.Система контролирует работу 6 агрегатов, от каждого из которых в течение времени Т может поступить сигнал о неисправности с вероятностью 0,2. Найти:

а) моду, медиану, математическое ожидание; б) дисперсию, среднее квадратическое отклонение;

в) вероятность того, что число отказов превысит .

19.Сколько партий вероятнее выиграть у равносильного противника:

а) три из четырех или пять из восьми; б) не менее трех из четырех или не менее пяти из восьми.

20.Партия изделий содержит 5% брака. При каком объеме случайной выборки вероятность попадания в нее хотя бы одного бракованного изделия будет не менее 0,9?

21.Однотипные приборы поставляются двумя заводами, причем первый из них поставляет 2/ от общего количества. Вероятность безотказной работы в течение заданного времени приборов, поставляемых первым заводом, равна 0,96, а вторым — 0,9. Определить вероятность того, что взятый наудачу прибор проработает заданное время.

22.В условиях задачи 21 определить вероятность того, что: а) проработавший заданное время прибор поставлен вто-

рым заводом; б) отказавший прибор поставлен первым заводом.

2 . В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, — подготовлены отлично, 4 — хорошо, 2 посредственно и 1 — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

24. Микросхемы поставляются с трех заводов. Первый и третий поставляют по 25% всей продукции, а второй — 50%. Ве-

284

роятности того, что микросхемы проработают заданное число часов, соответственно равны 0,9, 0,8, и 0,6. Определить вероятность того, что:

а) взятая наугад микросхема проработает заданное число часов;

б) с какого завода наиболее вероятно была поставлена микросхема, не проработавшая заданное число часов.

вопросыдлясамопроверки

1.Что является предметом теории вероятностей?

2.Дайте определение случайного события и приведите примеры.

. Что называется суммой и произведением нескольких событий?

4.Какие события называются несовместными? Приведите примеры.

5.Дайте определения достоверного и невозможного событий и приведите примеры.

6.Как определить частоту и вероятность наступления события?

7.Приведите формулировку аксиом Колмогорова.

8.Что такое условная вероятность?

9.Каковы правила действий с вероятностями?

10.Приведите схему Бернулли.

11.Выведите формулу полной вероятности.

12.Выведите формулу Байеса.

285

9.случайныевеличины

9.1.случайныевеличиныиихклассификация

Случайной называется переменная величина, которая в результате испытания (реализации определенного комплекса условий) принимает одно из множества своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно [1, 4, 9].

Случайными величинами являются, например:

1.Число попаданий в цель при ограниченном числе боеприпасов.

2.Число выстрелов до первого попадания в цель при неограниченном расходе боеприпасов.

. Число дефектных изделий в партии готовой продукции.

4.Время безотказной работы элемента технической сис-

темы.

5.Отклонение точки падения снаряда от точки прицели-

вания.

По аналогии с обычными переменными различают скалярные и векторные случайные величины или системы случайных величин.

В приведенных выше примерах первые четыре случайные величины являются скалярными, а пятая двумерным вектором (системой двух случайных величин: отклонения по дальности и боковому направлению).

Скалярные случайные величины в дальнейшем будем обозначать прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения — соответствующими строчными буквами x, y, z(используя при необходимости цифровые индексы). Применительно к случайным векторам будем использовать обозначения {X, Y},

{X1, X2}, {X1, X2, …, Xn}.

По характеру множества возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной называют случайную величину, множество возможных значений которой является конечным или бесконечным, но счетным, так что все они могут быть в каком-либо порядке пронумерова-

286

ны и представлены последовательностью, конечной — x1, x2, …, xn или бесконечной x1, x2, …, xn, … Иначе говоря, возможные значения дискретной случайной величины представляются точками: скалярной — на числовой оси, векторной — в соответствующем n-мерном пространстве (N $ 2). На практике наиболее часто встречаются дискретные случайные величины, принимающие только целочисленные значения. В приведенных выше примерах такими случайными величинами являются первые три.

Непрерывной называют случайную величину, множество возможных значений которой несчетно и сплошь заполняет какой-либо ограниченный или неограниченных интервал (область). В примерах, приведенных выше, непрерывными случайными величинами являются последние две.

Наряду с дискретными и непрерывными случайными величинами иногда встречаются случайные величины смешанного типа (они в дальнейшем нами рассматриваться не будут).

9.2.Законраспределенияслучайнойвеличиныиформыего представления

9.2.1.Понятиераспределенияслучайнойвеличины

Для того чтобы описать любую случайную величину, необходимо, очевидно, задать множество ее возможных значений. Однако одного этого оказывается недостаточно. Например, дискретная случайная величина X представляет число попаданий в мишень при трех выстрелах начинающего стрелка, а дискретная случайная величина Y — число попаданий тоже при трех выстрелах стрелка высокой квалификации. Нетрудно видеть, что обе эти случайные величины имеют одно и то же множество возможных значений:

x1 = y1 = 0, x2 = y2 = 1, x = y = 2, x4 = y4 = ,

но при многократном осуществлении испытаний (стрельб) одинаковые возможные значения будут появляться неодинаково

287

часто (например, возможное значение x1 = 0 будет иметь место значительно чаще, чем y1 = 0, а возможное значение x4 = значительно реже, чем y4 = ).

Следовательно, для полного описания случайной величины наряду с заданием множества ее возможных значений требуется еще указать, как часто то или иное из них будет иметь место, т. е. какова его вероятность.

Посколькуврезультатеиспытанияслучайнаявеличинапринимает обязательно одно и только одно из своих возможных значений, то сумма их вероятностей равна единице (как сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу).

Для непрерывной случайной величины указать вероятность каждого из ее возможных значений нельзя хотя бы потому, что множество этих значений бесконечно и несчетно. Кроме того, как будет показано далее, вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Поэтому непрерывная случайная величина будет полностью охарактеризована в вероятностном смысле, если указать вероятность ее попадания в любой интервал возможных значений.

Под законом распределения случайной величины понимают соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями или интервалами возможных значений случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения случайной величины является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой и может быть представлен в таких формах, как функция вероятности, фун-

кция распределения и плотность распределения (плотность вероятности).

9.2.2.Функциявероятности

Функция вероятности (ранее часто использовался термин ряд распределения [4, 5, 6]) используется для описания распределений только дискретных случайных величин. Она задает однозначное отображение множества возможных значений xi случайной величины на множество их вероятностей p(xi).

288

В такой форме закон распределения представляется либо аналитической формулой, позволяющей вычислить вероятность каждого возможного значения величины, либо таблицей, в которой указываются все ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Так, например, если случайная величина X является числом попаданий в цель при N независимых выстрелах с одинаковой вероятностью попадания p, то вероятности p(xi) всех ее возможных значений xi = 0, 1, …, N определяются формулой Бернулли, т. е.

(9.1)

которая, таким образом, непосредственно представляет распределение этой случайной величины.

Результаты расчетов по формуле (9.1) можно свести в табл. 9.1.

Подчеркнем, что сумма всех вероятностей p(xi) в такой таблице равна единице, т. е.

Функцию вероятности иногда называют рядом распределения.

9.2.3.Функцияраспределения

Функцией распределения скалярной случайной величины X называется функция F(x) аргумента x, которая при каждом x задает вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее x, т. е.

289

(при этом аргумент x не обязательно должен совпадать с возможными значениями случайной величины).

Функция распределения является универсальной формой, позволяющей представлять распределения случайных величин любого типа.

Для уяснения смысла функции распределения рассмотрим следующий пример.

Пример 9.1. Построить график функции распределения дискретной случайной величины X, распределение которой задано табл. 9.2.

Таблица 9.2

Заметим, что такое распределение имеет число попаданий в цель после трех независимых выстрелов с вероятностью попадания p = 0,5 при каждом из них.

Решение

1. При x = 0 в соответствии с равенством (9.2) имеем

F(0) = P(X < 0) = 0,

поскольку рассматриваемая случайная величина X не имеет возможных значений меньше нуля.

Очевидно, что по той же причине F(x) = 0 для x < 0. 2. При x = 1 согласно равенству (9.2)

F(1) = P(X < 1).

Из табл. 9.2 следует, что неравенство X < 1 выполняется в единственном случае — когда рассматриваемая случайная величина принимает возможное значение x1 = 0. Следовательно,

Нетрудно видеть, что, поскольку на интервале 0 < x # 1 эта случайнаявеличинавозможныхзначенийнеимеет,F(x) = 0,125 для всех 0 < x # 1.

290