baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

ности достаточно велико, чтобы провести сплошной контроль, либо для регистрации наличия признака приходится разрушать обследуемый элемент.

Вэтих условиях прибегают к выборочному обследованию элементов генеральной совокупности. При этом методе обследуются не все элементы генеральной совокупности, а только некоторая часть из них. Выводы и рекомендации, сформулированные по результатам выборочного обследования, распространяются на всю генеральную совокупность [1, 15].

Выборкой из генеральной совокупности называют совокупность результатов, полученных при непосредственном проведении испытаний. Число n элементов (результатов проведенных испытаний) является конечным и называется объемом выборки.

Если элементы выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности, то выборку называют однородной.

Вматематической статистике предполагают, что выборки формируются при многократной реализации случайного эксперимента, результат которого точно предсказать невозможно. Поэтому такие выборки называют случайными.

Например, исследуется качество партии готовой продукции. С этой целью из партии случайным образом отбирают n изделий и определяют годность каждого из них. Так как в партии содержатся как годные, так и дефектные изделия, то результат обследования каждого изделия в выборке до проведения испытания следует рассматривать как случайную величину, которая принимает одно из двух возможных значений: ноль или единицу:

если изделие годное; если изделие дефектное.

Таким образом, до проведения испытания результаты наблюдений представляют собой систему дискретных случайных величин:

{X1, X2, …, Xi, …, Xn}.

81

После проведения испытания каждая из случайных величин примет одно из двух возможных значений.

Предположим, что измеряемый в процессе испытания параметр является случайным, например, при контроле качества партии готовой продукции измеряется линейный размер детали. Результат измерения каждой из n деталей естественно считать случайной величиной, поскольку до проведения измерения нельзя предсказать численное значение размера детали, т. е. результаты измерений представляют собой систему непрерывных случайных величин:

{Y1, Y2, …, Yi, …, Yn}.

После проведения измерений каждая из случайных величин Yi примет одно из своих возможных значений и будет получена совокупность n значений:

{y1, y2, …, yi, …, yn}.

Результат каждого из n измерений постоянного параметра следует рассматривать как случайную переменную ввиду того, что измерения в реальных условиях сопровождаются ошибками. Ошибки измерений подразделяют на систематические и случайные [14].

Систематические ошибки — это составляющие общей ошибки измерений, обусловленные факторами, которые действуют одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. При повторных измерениях эти ошибки остаются неизменными, а если изменяются, то закономерно. Систематические ошибки, как правило, обусловлены погрешностями измерительных приборов (инструментальные ошибки) и несовершенством методов измерений (методические ошибки). Эти ошибки можно выявить и исключить из результатов измерений.

Случайные ошибки — составляющие общей ошибки, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Причиной случайных ошибок являются неконтролируемые факторы, проявление которых неоди-

82

наково в каждом измерении и которые заранее не могут быть учтены. Случайные ошибки являются принципиально не выявляемыми и, следовательно, неустранимыми.

Среди случайных ошибок особо следует выделить грубые ошибки. Причиной этих ошибок является неисправность приборов или неточности в действиях наблюдателя, связанные с неправильным чтением показаний измерительного прибора, с ошибками в записи результата измерения и т. д.

Вдальнейшем при рассмотрении методов обработки результатов измерений будем считать, что при измерениях имеют место только случайные ошибки.

Встатистике различают возвратные и безвозвратные выборки. Выборку называют возвратной, если извлеченный элемент после обследования перед извлечением следующего элемента снова возвращается в генеральную совокупность, безвозвратной — если отобранный элемент после обследования не возвращается в генеральную совокупность.

Если выбираемые элементы извлекаются из всей генеральной совокупности по одному, то полученная выборка называется простой. В дальнейшем будем рассматривать только простые случайные выборки и называть их просто выборками.

Спозицийтеориивероятностейэлементыслучайнойвыборки рассматриваются как независимые случайные величины с одним

итем же законом распределения. Это означает, что для плотности вероятности результатов испытаний справедливо равенство

По результатам выборочного обследования можно достаточно уверенно судить о свойствах генеральной совокупности только тогда, когда выборка является представительной (репрезентативной). Выборка — представительная, если она достаточно полно отражает свойства генеральной совокупности. Чтобы выборка была представительной, она должна удовлетворять следующим требованиям [1, 1 , 15]:

элементы генеральной совокупности должны отбираться случайным образом;

8

результаты испытаний в выборке должны быть независимыми;

должен быть правильно определен объем выборки. Выборки используются для решения вышеперечисленных

задач математической статистики. При этом элементы выборки используются, как правило, для образования новых случайных величин вида Si = w(x1, x2, …, xn), называемых статистиками.

Примерами статистик являются:

выборочная сумма

выборочное среднее

ит. д.

Все свойства (характеристики) генеральной совокупности, полученные по данным выборки, называют выборочными, или статистическими (в отличие от теоретических характеристик, изучаемых в теории вероятностей). Статистические характеристики в дальнейшем будем помечать индексом (звездочкой).Например,

F*(x) — статистическая функция распределения случайной величины X

— статистическое математическое ожидание;

— статистическое стандартное отклонение и т. д.

Все выборочные характеристики являются функциями элементов выборки, т. е. статистиками.

В зависимости от объема выборки подразделяют на большие и малые. Существует несколько подходов к определению понятий большой и малой выборок. Так, например, в [15] используется следующий подход. Иногда при обработке результатов испытаний прибегают к группировке элементов выборки. При группировании количество информации, извлекаемой из выборки, обычно уменьшается. Это может привести к ухудшению качества (точности и достоверности) полученных результатов. Поэтому малой можно считать выборку, если при обра-

84

ботке ее методами, основанными на группировании элементов выборки, нельзя достичь заданного качества результатов. Наоборот, выборка является большой, если допускает группирование элементов без заметной потери количества информации.

При практических расчетах считают, что выборка имеет малый объем, если она содержит менее 50 элементов (иногда количество элементов ограничивают 15) [14].

Теоретической основой правомерности распространения статистических выводов, полученных по результатам ограниченного числа испытаний, на всю генеральную совокупность является закон больших чисел.

11.4.Понятиеозаконебольшихчисел ицентральнойпредельнойтеореме

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в которых доказывается сходимость по вероятности средних значений результатов большого числа наблюдений к некоторым постоянным величинам [5]. Смысл термина «сходимость по вероятности» состоит в следующем. Последовательность случайных величин X1, X2, …, Xn сходится по вероятности к постоянной C, если вероятность того, что значения Xn будут сколь угодно близки к C, неограниченно приближается к единице при n → `. Математически сходимость по вероятности записывается в виде

где — сколь угодно малая положительная величина. Доказательство теорем дается в большинстве учебников

по теории вероятностей и математической статистике. Поэтому ниже излагаются только их содержание и сущность.

НеравенствоЧебышева

Для любой случайной величины X, имеющей конечное математическое ожидание и дисперсию, при каждом > 0 имеет место неравенство

85

(11.4)

Из равенства (11.4) следует, что при достаточно больших n существенные отклонения по абсолютной величине среднего арифметического результатов измерений от математического ожидания маловероятны. Данное утверждение является основанием того, что в качестве неизвестного значения математического ожидания mx может быть принято среднее арифметическое результатов большого числа измерений случайной величины X.

Следует отметить, что теорема Чебышева справедлива и для среднего арифметического различных функций от результатов наблюдений скалярной случайной величины w(xi), или системы случайных величин c(Xi, Yi, Zi…), . При этом должно выполняться условие: аргументы Xi или одноименные элементы систем аргументов {Xi, Yi, Zi} имеют один и тот же закон распределения, включая и параметры.

Например, w(xi) = (Xi ] mx)2. С учетом того, что

M[w(xi)] = M[(Xi ] mx)2],

в соответствии с равенством (11.4), можем записать:

(11.5)

Предположим, что функция от результатов наблюдений системы двух случайных величин имеет вид

c(Xi, Yi) = (Xi ] mx) (Yi ] my).

Математическое ожидание этой функции — момент связи результатов наблюдений двух случайных величин X и Y

M = [(Xi ] mx) (Yi ] my)] = Kxy.

Поэтому, в соответствии с равенством (11.4), можем записать:

(11.6)

87

Из равенств (11.5) и (11.6) следует, что при достаточно большом n в качестве неизвестных значений дисперсии Dx случайной величины X момента связи Kxy двух случайных величин X и Y могут быть приняты средние арифметические вида

и

соответственно.

ТеоремаБернулли

Данная теорема доказывает устойчивость частоты случайного события, что позволяет применять на практике статистический способ определения вероятности наступления события.

При неограниченном увеличении числа независимых испытаний n в одних и тех же условиях частота P*(A) наступления случайного события A сходится по вероятности к его вероятности P, т. е.

(11.7)

где ni — число наступлений события в n испытаниях;— сколь угодно малая положительная величина.

В соответствии с теоремой Бернулли при большом числе испытаний частоту наступления случайного события можно принять в качестве его вероятности.

Если вероятность наступления случайного события в каж-

т.е.частотасобытиясходитсяповероятностиксреднемуарифметическому значению вероятностей события в каждом испытании.

ЦентральнаяпредельнаятеоремаЛяпунова

Однойиззадачприпримененииметодовобработкирезультатов испытаний является выявление условий, определяющих

88

справедливость априорных предположений о виде закона распределения исследуемой случайной величины.

Часто при обработке результатов испытаний принимается предположение о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины. Однако не всегда можно применить нормальный закон распределения. Поэтому необходимо определить условия, когда можно выдвигать предположение о нормальном распределении и в каких случаях от него следует отказаться. Условия, при которых возникает нормальный закон распределения, определяют предельные теоремы теории вероятностей. Одной из основных среди этих теорем является центральная предельная теорема Ляпунова [5]. Сущность данной теоремы сводится к следующему.

Закон распределения суммы независимых случайных величин при неограниченном увеличении числа слагаемых приближается к нормальному, если случайные величины, входящие в сумму, имеют дисперсии примерно одного и того же порядка и конечные математические ожидания. Требования равенства дисперсий означает, что влияние каждого слагаемого на сумму одинаково.

Таким образом, если

и случайные величины X1, X2, …, Xn удовлетворяют указанным требованиям, то при достаточно большом n

где

и

На практике теорему Ляпунова применяют и в случае, когда n сравнительно невелико. При n $ 8 эту теорему можно применять при суммировании непрерывных случайных величин, имеющих одинаковые симметричные законы распределения с

89

одинаковыми числовыми характеристиками. Если же суммируются случайные величины с различными несимметричными законами и различными числовыми характеристиками, то теоремой Ляпунова можно пользоваться только при числе слагаемых порядка сотни [5,15].

вопросыдлясамопроверки

1.Что вынуждает отказаться от методов теории вероятностей и перейти к методам математической статистики?

2.Какие задачи решаются методами математической статистики?

. Что составляет комплекс условий эксперимента?

4.Какие требования предъявляются к ошибке эксперимента?

5.Какое уравнение называют уравнением регрессии?

6.Что называется факторным пространством?

7.В чем отличие активного эксперимента от пассивного?

8.В чем заключается особенность методов математической статистики?

9.Что называется генеральной совокупностью? Какие они бывают?

10.Что называется выборкой из генеральной совокупности? Какие требования к ней предъявляются и чем они обеспечиваются?

11.Что понимается под законом больших чисел?

12.В чем заключается смысл термина «сходимость по вероятности»?

1 . Что доказывает неравенство Чебышева?

14.Что доказывают теорема Чебышева и теорема Бер-

нулли?

15.В чем суть центральной предельной теоремы Ляпу-

нова?

90