Вариант №41

1. Для проведения лабораторных работ группа студентов, в которой 10 юношей и 6 девушек, произвольным образом делится на две равные подгруппы. Найти вероятность того, что в каждой подгруппе окажется по одинаковому числу девушек.

2. В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажется не менее трех окрашенных.

3. Вероятности надежной работы каждого из 6‑ти элементов электрической цепи равны p₁= 0,98, p₂= 0,96, p₃= 0,94, p₄= 0,90, p₅=p₆= 0,90. Найти вероятность безотказной работы цепи.

┌─────┐ ┌─────┐ ┌─┤ 1 ├─┤ 2 ├─┐ │ └─────┘ └─────┘ │ ┌─────┐ ┌─┤ ├─┤ 4 ├─┐ │ │ ┌─────┐ │ └─────┘ │ ───┤ └─────┤ 3 ├─────┘ ├─── │ └─────┘ │ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └──────┤ 5 ├────┤ 6 ├─────┘ └─────┘ └─────┘

4. В двух урнах содержатся шары. В первой —8 белых и 12 чёрных, во второй —9 белых и 11 чёрных. Из первой урны извлекаются 3 шара, из второй —5, а затем из этих восьми шаров извлечен один. Найти вероятность того, что он окажется белым.

5. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартна, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу деталей окажется не более двух нестандартных.

6. На фабрике сто двадцать ткацких машин. Вероятность надежной работы каждой из них —0,9. Найти вероятность того, что в данный момент на фабрике работает не менее ста машин; ровно 100 машин.

7. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более двух не выдержат испытание.

8. В комплекте 9 деталей, среди которых шесть нужного размера. Наудачу отобраны четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа деталей нужного размера среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.

9. Функция плотности распределения f(x) случайной величины X  задана графически. Найти

f(x) f(x)= x+1 1 -β 0 x	 и , записать выражение для f(x), найти функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(-0,5<X<0). Построить график функции распределения и показать на нём и на графике функции плотности распределения
f(x) математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X).

10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 1258 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в пределах 12571259 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 1257,2 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,91? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

11. На основе данных о результатах определения величины субъективно-ориентированной активности у 48‑ми испытуемых сформировать таб-

No	S[%]	No	S[%]	No	S[%]	No	S[%]	No	S[%]
1	1,0	11	8,0	21	10,9	31	13,5	41	16,4
2	2,0	12	8,4	22	11,1	32	13,7	42	16,8
3	3,5	13	8,7	23	11,3	33	14,0	43	17,1
4	5,2	14	8,9	24	11,5	34	14,3	44	17,5
5	5,6	15	9,2	25	11,7	35	14,5	45	18,1
6	6,0	16	9,6	26	11,9	36	14,7	46	18,7
7	6,4	17	10,1	27	12,2	37	15,2	47	19,1
8	6,8	18	10,3	28	12,5	38	15,4	48	19,6
9	7,2	19	10,5	29	12,8	39	15,8
10	7,6	20	10,7	30	13,2	40	16,1

лицу значений относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij		X
		5	10	15	20	25	30
Y	8	2	4
	12		3	7
	16			5	30	10
	20			7	10	8	2
	24				5	6	3