Вариант №22

1. Из полной колоды карт (52 штуки) извлекаются наугад сразу три карты. Найти вероятность того, что это будут: тройка, семерка, туз.

2. Устройство состоит из 4 узлов, каждый из которых в течение времени t может выйти из строя. Вероятность выхода из строя за время t первого узла p₁= 0,2, второго узла —p₂= 0,15, третьего —p₃= 0,1, четвертого —p₄= 0,12. Найти вероятность того,что за время t выйдут из строя какие-либо два узла.

3. Найти вероятность надежной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность выхода из строя каждого элемента одинакова и равна q = 0,3.

┌─────┐ ┌─┤ 2 ├─┐ │ └─────┘ │ ┌─────┐ ┌─┤ ├──┤ 4 ├───┐ │ │ ┌─────┐ │ └─────┘ │ │ └─┤ 3 ├─┘ │ ┌─────┐ │ └─────┘ │ ──┤ 1 ├─┤ ┌─────┐ ├─── └─────┘ │ ┌─────┤ 5 ├─────┐ │ │ │ └─────┘ │ │ └────┤ ├─┘ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └─┤ 6 ├─┤ 7 ├─┘ └─────┘ └─────┘

4. В двух урнах находятся шары. В первой —6 белых и 3 черных, во второй —4 белых и 7 черных. Из второй урны вынут один шар и переложен в первую. Затем из первой урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный.

5. Из большой партии деталей отбирают для контроля 10 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 20%. Найти вероятность того, что не менее 8 деталей окажутся стандартными.

6. Испытывается каждый из 1500 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание более 1300 элементов; ровно 1300 элементов.

7. Вероятность производства бракованной детали равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 600 деталей окажется не более 4 бракованных.

8. В комплекте 10 деталей, из них 7 деталей первого сорта, остальные второго. Наудачу извлечены 4 детали. Составить закон распределения случайной величины X —числа стандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.

9. Функция плотности распределения f(x) случайной величины X задана графически. Найти

f (x) 0 1 2 x

выражение для f(x), найти функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(1<X<1,5). Построить график функции распределения F(x)и показать на нём и на графике функции плотности распределения f(x) математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X).

10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 155 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 153,5<X<156,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 154,2 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,92? В каких пределах с вероятностью 0.9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

11. На основе данных о результатах определения степени циклоидности поведения 48‑ми подростков сформировать таблицу значений относи-

No	Ц[кб]	No	Ц[кб]	No	Ц[кб]	No	Ц[кб]	No	Ц[кб]
1	1,0	11	7,1	21	10,1	31	11,4	41	13,3
2	2,0	12	7,5	22	10,2	32	11,5	42	13,9
3	3,0	13	7,9	23	10,3	33	11,6	43	14,5
4	4,0	14	8,4	24	10,4	34	11,8	44	15,1
5	4,6	15	8,8	25	10,5	35	11,9	45	15,7
6	5,1	16	9,1	26	10,7	36	12,1	46	16,3
7	5,5	17	9,3	27	10,9	37	12,2	47	17,4
8	5,9	18	9,5	28	11,0	38	12,4	48	17,9
9	6,4	19	9,7	29	11,1	39	12,6
10	6,8	20	9,9	30	11,3	40	12,8

тельных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 8 равноотстоящих частичных интервалов.

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij		X
		15	20	25	30	35	40
Y	5	4	2
	8		6	4
	11			6	45	2
	14			2	3	6
	17				4	7	4