Вариант №36
1. На складе имеются 10 покрышек, из них 2 изношенных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 покрышек окажется 4 годных.
2. В урне 5 белых и 4 красных шара, одинаковых наощупь. Наудачу вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будет не менее 2 красных.
3. Найти вероятность безотказной работы функциональной схемы,
┌─────┐ ┌─┤ 5 ├─┐ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └─────┘ │ ┌──┤ 1 ├──┤ 2 ├──┐ ┌────────┤ ├────────┐ │ └─────┘ └─────┘ │ │ │ ┌─────┐ │ │ ──┤ ├──┤ └─┤ 6 ├─┘ ├── │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ │ └─────┘ │ └──┤ 3 ├──┤ 4 ├──┘ │ │ └─────┘ └─────┘ │ ┌─────┐ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └─┤ 7 ├──┤ 8 ├──┤ 9 ├─┘ └─────┘ └─────┘ └─────┘
изображенной на рисунке, если вероятность отказа каждого из независимо работающих элементов равна 0,1.
4. Два завода выпускают одинаковые изделия. Вероятность брака для 1‑го завода 0,1, для 2‑го —0,25. Первый завод имеет два одинаковых конвейера; второй —один такой же конвейер. Детали с заводов поступают на склад. Найти вероятность того, что случайно взятая на складе деталь будет годной.
5. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой машины равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 9 автомашин.
6. В системе установлено 600 независимо работающих предохранителей. Для каждого из них вероятность выхода из строя после 10.000 часов работы равна 0,2. Если вышло из строя не менее 110 предохранителей, то система требует ремонта. Найти вероятность того, что система потребует ремонта после 10.000 часов работы.
7. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа не менее трех элементов за год; ровно трех элементов за год?
8. В коробке находятся 6 деталей 1‑го сорта и 4 детали 2‑го сорта. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа деталей 1‑го сорта среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.
9. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Найти коэффициент a, функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(-1<X<0). Построить графики плотности и функции распределения и показать на них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (X).
10. Диаметр детали —случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a = 50 мм, = 0,2 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали из партии составит от 49,5 мм до 50,4 мм; отличается от a не более, чем на 0,3 мм. Какое отклонение диаметра от a можно гарантировать с вероятностью 0,97? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры всех изготовленных деталей?
11. На основе данных о результатах определения уровня доминантности (настойчивости, напористости) у 47‑ми детей сформировать таблицу
No |
Е+[б/р] |
No |
Е+[б/р] |
No |
Е+[б/р] |
No |
Е+[б/р] |
No |
Е+[б/р] |
1 |
344,0 |
11 |
345,0 |
21 |
345,3 |
31 |
345,5 |
41 |
345,8 |
2 |
344,3 |
12 |
345,0 |
22 |
345,3 |
32 |
345,5 |
42 |
345,9 |
3 |
344,5 |
13 |
345,1 |
23 |
345,3 |
33 |
345,5 |
43 |
345,9 |
4 |
344,6 |
14 |
345,1 |
24 |
345,4 |
34 |
345,6 |
44 |
346,0 |
5 |
344,7 |
15 |
345,2 |
25 |
345,4 |
35 |
345,6 |
45 |
346,1 |
6 |
344,8 |
16 |
345,2 |
26 |
345,4 |
36 |
345,6 |
46 |
346,2 |
7 |
344,8 |
17 |
345,2 |
27 |
345,4 |
37 |
345,6 |
47 |
346,2 |
8 |
344,9 |
18 |
345,2 |
28 |
345,4 |
38 |
345,7 |
|
|
9 |
344,9 |
19 |
345,3 |
29 |
345,5 |
39 |
345,8 |
|
|
10 |
345,0 |
20 |
345,3 |
30 |
345,5 |
40 |
345,8 |
|
|
значений относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 6 равноотстоящих частичных интервалов.
12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.
13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.
14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.
15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.
16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы
-
nij
X
40
50
60
70
80
Y
25
2
40
6
15
10
4
55
8
15
5
70
7
15
8
85
2
3