Вариант №35
1. В ящике имеется 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что 2 извлеченные детали окажутся окрашенными.
2. Неисправность может возникнуть в одном из 4‑х блоков устройства. Вероятность возникновения неисправности в первом блоке равна 0,20, во втором —0,15, в третьем и в четвертом —0,10. Найти вероятность появления неисправности только в одном блоке; хотя бы в одном блоке.
3. Найти вероятность безотказной работы функциональной схемы,
┌─────┐ ┌─┤ 4 ├─┐ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └─────┘ │ ┌──┤ 1 ├──┤ 2 ├──┐ ┌──┤ ├──┐ │ └─────┘ └─────┘ │ │ │ ┌─────┐ │ │ ┌─────┐ ──┤ ├──┤ └─┤ 5 ├─┘ ├──┤ 7 ├── │ ┌─────┐ │ │ └─────┘ │ └─────┘ └──────┤ 3 ├───────┘ │ │ └─────┘ │ ┌─────┐ │ └────┤ 6 ├────┘ └─────┘
состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента равна 0,98.
4. В коробке 10 деталей завода №1, 15 деталей завода №2 и 25 деталей завода №3. Вероятности того, что деталь высокого качества равны соответственно 0,95 для первого завода, 0,85 для второго и 0,7 для третьего. Найти вероятность того, что наудачу вынутая деталь из коробки будет высокого качества.
5. Электрическая цепь состоит из 7 параллельно включенных потребителей. Вероятность надежной работы каждого из них 0,9, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет менее половины потребителей.
6. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартна, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди пятисот взятых наудачу деталей окажется не более шестидесяти нестандартных; ровно шестдесят нестандартных.
7. Радиоаппаратура состоит из 800 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна 0,005 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух элементов за год; более двух элементов за год?
8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4. Составить закон распределения X —числа промахов при пяти выстрелах. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.
9. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Найти интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(1<X<2,5). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них M(X) и отклонение (X).
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 140 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в диапазоне 138<X<142 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 141 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины всех проверенных деталей?
11. На основе данных о результатах 50‑ти измерений отклонения толщины листа от номинального сформировать таблицу значений значений отно-
No |
h[мк] |
No |
h[мк] |
No |
h[мк] |
No |
h[мк] |
No |
h[мк] |
1 |
‑2,5 |
11 |
1,2 |
21 |
3,6 |
31 |
6,4 |
41 |
9,5 |
2 |
‑2,2 |
12 |
1,4 |
22 |
3,8 |
32 |
6,6 |
42 |
10,6 |
3 |
‑2,1 |
13 |
1,6 |
23 |
4,3 |
33 |
7,0 |
43 |
10,9 |
4 |
‑1,8 |
14 |
1,8 |
24 |
4,6 |
34 |
7,2 |
44 |
11,2 |
5 |
‑1,6 |
15 |
2,0 |
25 |
4,9 |
35 |
7,4 |
45 |
11,5 |
6 |
‑1,4 |
16 |
2,2 |
26 |
5,4 |
36 |
7,8 |
46 |
11,8 |
7 |
0,2 |
17 |
2,6 |
27 |
5,6 |
37 |
8,0 |
47 |
12,0 |
8 |
0,4 |
18 |
2,8 |
28 |
5,8 |
38 |
8,2 |
48 |
12,3 |
9 |
0,6 |
19 |
3,0 |
29 |
6,0 |
39 |
8,7 |
49 |
12,8 |
10 |
1,0 |
20 |
3,4 |
30 |
6,2 |
40 |
9,1 |
50 |
13,4 |
сительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.
12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.
13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.
14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.
15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.
16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы
-
nij
X
65
75
85
95
105
115
Y
80
5
3
85
3
30
90
70
10
95
10
40
10
7
100
6
5