Вариант №2
1. В партии из 7 деталей имеется 5 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти вероятность того, что среди них 2 детали стандартны?
2. В поисках нужной книги студент опрашивает 3‑х товарищей. Вероятности получить нужную книгу у 1‑го, 2‑го, 3‑го товарищей соответственно равны 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность того, что студент получит книгу у одного из товарищей.
3. Вероятность работы каждого из независимо работающих элементов функциональной цепи p = 0,95. Найти вероятность работы цепи.
┌─────┐ ┌──┤ 1 ├──┐ │ └─────┘ │ ┌────┤ ├────┐ │ │ ┌─────┐ │ │ │ └──┤ 2 ├──┘ │ ┌─────┐ ────┤ └─────┘ ├───┤ 5 ├─── │ │ └─────┘ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └──┤ 3 ├───┤ 4 ├──┘ └─────┘ └─────┘
4. Часы изготавливаютcя на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% всей продукции, второй —35%, третий —25%. Из продукции первого завода спешат 60% часов, у второго —70%, у третьего —40%. Найти вероятность того, что купленные часы спешат?
5. Вероятность выхода из строя конструкции при приложении расчетной нагрузки 0,05. Какова вероятность того, что из восьми конструкций, испытанных независимо друг от друга, не менее шести выдержат нагрузку?
6. Произведено 1000 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле —0,9. Найти вероятность того, что попали 900 раз; не менее 900 раз.
7. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что будет повреждено не более трех изделий.
8. Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа отказавших элементов в одном опыте. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.
9. Плотность вероятностей случайной величины Х равна
Найти параметр c, интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(1,5<X<2). Построить графики плотности и функции распределения и показать на них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (X).
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 120 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 118,8 мм и не более 121,2 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 119,5 мм. Какое отклонение длины детали от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,99? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?
11. На основе данных о результатах анализа эффективности работы 48‑ми предприятий области по величине роста валовой продукции в отчетном году (в % к предыдущему году) сформировать таблицу значений относительных частот для равноотстоящих вариант,
No |
Эр[%] |
No |
Эр[%] |
No |
Эр[%] |
No |
Эр[%] |
No |
Эр[%] |
1 |
84 |
11 |
103 |
21 |
112 |
31 |
118 |
41 |
128 |
2 |
88 |
12 |
104 |
22 |
112 |
32 |
119 |
42 |
129 |
3 |
91 |
13 |
105 |
23 |
113 |
33 |
119 |
43 |
131 |
4 |
92 |
14 |
106 |
24 |
113 |
34 |
120 |
44 |
133 |
5 |
93 |
15 |
107 |
25 |
114 |
35 |
121 |
45 |
135 |
6 |
95 |
16 |
108 |
26 |
114 |
36 |
122 |
46 |
136 |
7 |
96 |
17 |
109 |
27 |
115 |
37 |
123 |
47 |
138 |
8 |
98 |
18 |
110 |
28 |
116 |
38 |
124 |
48 |
140 |
9 |
100 |
19 |
110 |
29 |
116 |
39 |
125 |
|
|
10 |
101 |
20 |
111 |
30 |
117 |
40 |
126 |
|
|
таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 8 равноотстоящих частичных интервалов.
12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.
13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.
14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.
15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.
16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы
nij |
X |
||||||
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
||
Y |
15 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
20 |
|
5 |
3 |
|
|
|
|
25 |
|
|
5 |
45 |
5 |
|
|
30 |
|
|
2 |
8 |
7 |
|
|
35 |
|
|
|
4 |
7 |
3 |
|