Вариант №16
1. Из партии в 14 деталей, содержащей четыре бракованных, наудачу отобраны 7 деталей. Партия будет признана годной, если среди отобранных деталей окажется 5 годных. Найти вероятность того, что партия будет признана годной.
2. Вероятность безотказной работы первого из четырех элементов устройства равна p1= 0,9, второго —p2= 0,85, третьего —p3= 0,75 и четвертого —p4= 0,65. Найти вероятность выхода из строя ровно двух элементов устройства.
3. Найти вероятность выхода из строя функциональной схемы, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность надежной работы каждого элемента равна 0,9.
┌─────┐ ┌─┤ 1 ├─┐ │ └─────┘ │ ┌─┤ ├─┐ │ │ ┌─────┐ │ │ ┌─────┐ │ └─┤ 2 ├─┘ │ ┌─┤ 5 ├─┐ │ └─────┘ │ │ └─────┘ │ ───┤ ├─┤ ├─── │ ┌─────┐ │ │ ┌─────┐ │ │ ┌─┤ 3 ├─┐ │ └─┤ 6 ├─┘ │ │ └─────┘ │ │ └─────┘ └─┤ ├─┘ │ ┌─────┐ │ └─┤ 4 ├─┘ └─────┘
4. На сборку поступило 500 деталей с первого станка, 400 деталей со второго и 200 деталей с третьего. Первый станок дает 0,6% брака, второй —0,25%, а третий —0,5%. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из всей продукции станков окажется годной.
5. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди шести взятых случайным образом деталей окажется не менее половины стандартных.
6. На фабрике сто двадцать ткацких машин. Вероятность надежной работы каждой из них —0,9. Найти вероятность того, что в данный момент на фабрике работает не менее ста машин; ровно 100 машин.
7. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,005. Найти вероятность того, что из 400 деталей не менее 3‑х бракованных; ровно 3 бракованных.
8. В урне 9 шаров, среди которых 5 белых, а остальные —чёрные. Наудачу извлекаются 3 шара. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа чёрных шаров среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.
9. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Найти коэффициент a, функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(0<X<2). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (X).
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 145 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в пределах 144X146 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 144,5 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,94, 0,99?
11. На основе данных о результатах измерений роста у 50‑ти детей 7‑ми лет женского пола сформировать таблицу значений относительных час-
No |
H[см] |
No |
H[см] |
No |
H[см] |
No |
H[см] |
No |
H[см] |
1 |
97 |
11 |
113 |
21 |
121 |
31 |
127 |
41 |
145 |
2 |
99 |
12 |
113 |
22 |
121 |
32 |
129 |
42 |
146 |
3 |
101 |
13 |
114 |
23 |
122 |
33 |
131 |
43 |
148 |
4 |
103 |
14 |
114 |
24 |
122 |
34 |
132 |
44 |
152 |
5 |
104 |
15 |
115 |
25 |
123 |
35 |
133 |
45 |
154 |
6 |
105 |
16 |
116 |
26 |
124 |
36 |
135 |
46 |
160 |
7 |
107 |
17 |
117 |
27 |
125 |
37 |
137 |
47 |
164 |
8 |
109 |
18 |
118 |
28 |
125 |
38 |
139 |
48 |
166 |
9 |
111 |
19 |
119 |
29 |
126 |
39 |
141 |
49 |
168 |
10 |
112 |
20 |
120 |
30 |
126 |
40 |
143 |
50 |
170 |
тот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 6 равноотстоящих частичных интервалов.
12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.
13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.
14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.
15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.
16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы
-
nij
X
40
50
60
70
80
Y
25
2
40
6
15
10
4
55
8
15
5
70
7
15
8
85
3