2.7.4.Диаграмма интенсивностей переходов

Исследуя в предыдущем разделе систему М/M/1/n с блокировкой, мы получили искомые результаты, используя следующую последовательность действий:

• построение графа Марковской цепи;

• определение вероятностей переходов;

• построение системы дифференциальных уравнений;

• переход к системе алгебраических уравнений;

• решение системы и получение вероятностей состояний.

Рассмотрим теперь более простой способ непосредственного выписывания алгебраических уравнений.

Построим вместо графа марковского процесса (рис. 2.9) диаграмму интенсивностей переходов (ДИП), в которой овалами обозначим состояния, а дугами переходы между ними. Как и прежде, будем кодировать состояния числом заявок, находящихся в данный момент в системе. Дугам приписываются числа, соответствующие интенсивностям переходов (а не вероятностям, как это было ранее). В такой диаграмме нет петель, т.е. дуг из состояния S_к в это же состояние (рис. 2.10).

λ

λ

λ

μ

μ

μ

...

μ

μ

μ

λ

0

1

n+2

i-1

λ

λ

λ

μ

...

i

i+1

Рис. 2.10. ДИП для системы M /M/ 1/n с блокировкой

Когда переходы осуществляются только в соседние состояния, говорят о процессе «размножения и гибели» и соответственно об интенсивностях, с которыми может увеличиваться или уменьшаться количество заявок в системе.

Эта диаграмма содержит, по сути, ту же информацию, что и граф сети Маркова. Построим для этой диаграммы алгебраические уравнение для вероятностей состояний, исходя из закона сохранения потоков вероятностей: сумма входящих потоков вероятностей для любого состояния равна сумме исходящих из него потоков. В данном случае мы будем понимать под термином “поток вероятности” произведение вероятности состояния на интенсивность перехода из этого состояния.

Так, для состояния с номером i ДИП на рис. 2.10 два входных потока вероятостей:

– от состояния i-1, равный ;

– от состояния i+1, равный .

Выходные потоки для этого состояния:

– к состоянию i-1, равный ;

– к состоянию i+1, равный ;

Так как сумма входящих потоков вероятностей для состояния равна сумме исходящих из него потоков, получаем

Вспомним рассмотренную в разделе 2.7.3 систему М/М/1/n. Уравнение для i-го состояния, которое мы получили, исследуя ее:

.

Сравнивая эти два выражения, убеждаемся в полной их идентичности.

Для процессов «размножения и гибели» выписывание алгебраических уравнений для вероятностей состояний можно еще больше упростить, если воспользоваться следующим правилом: встречные потоки вероятностей через сечение диаграммы равны между собой. Например, для сечения между состояниями i и i+1 это выражается равенством

Этот результат мы уже получили ранее в разделе 2.7.3, преобразовав исходную систему алгебраических уравнений.

2.7.5 Формула Литтла

Прежде чем перейти к анализу СМО различной конфигурации, выведем для системы с неограниченной очередью важное соотношение между некоторыми характеристиками системы, которое называется формула Литтла.

Эта формула связывает для предельного (стационарного режима работы) среднее число заявок, находящихся в СМО L_c и среднее время пребывания заявки в системе W_c.

Рассмотрим произвольную СМО (одноканальную, многоканальную, марковскую, немарковскую и т.д.). Если интенсивность поступления заявок, поступающих в систему будет меньше, чем интенсивность обработки этих заявок каналом, то установится стационарный (предельный) режим работы системы, когда среднее число прибывающих за единицу времени заявок равно среднему числу заявок, покидающих СМО (т.е. оба потока – входной и выходной будут иметь одну и ту же интенсивность ).

Введем в рассмотрение две функции: X(t) и Y(t), значениями которых будут являться соответственно число заявок, поступивших к моменту t в систему и число заявок, покинувших систему к этому моменту (рис.2.11).

X(t)

Y(t)

t

Z(t)

t₂

t₁

t

Рис. 2.11. К выводу формулы Литтла.

Обе функции случайны, меняются скачком на 1 при приходе или окончании обслуживания очередной заявки соответственно.. Число заявок, находящихся в СМО в момент t равно:

Z(t) = X(t) – Y(t).

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Это среднее значение функции Z(t) интервале T:

.

Интеграл представляет собой площадь заштрихованной фигуры, состоящей из прямоугольников высотой 1 и длиной, равной времени пребывания в системе соответствующей заявки t₁, t₂ …t_i… . Следовательно, мы можем заменить этот интеграл суммой площадей и записать:

.

Умножим и разделим это выражение на :

Но T- это количество заявок, поступивших в систему за времяТ, апредставляет собой суммарное время пребывания всех этих заявок в системе. Следовательно, отношениекTявляется средним временем пребывания заявки в СМО, т.е.W_c. Окончательно:

L_c = W_с

Аналогично выводится соотношение

L_оч = W_оч ,

где L_оч – средняя длина очереди,

W_оч - среднее время пребывания заявки в очереди.

Эти формулы носят название формул Литтла и позволяют при анализе систем по значению L находить W и наоборот.