3.11. Обработка экспериментальных данных

3.11.1. Экспериментальные оценки

Чтобы найти закон распределения случайной величины, нужно располагать достаточно обширным статистическим материалом, порядка нескольких сотен опытов (наблюдений). Однако па практике часто приходится иметь дело со статистическим материалом весьма ограниченного объема – с двумя-тремя десятками наблюдений, часто даже меньше. Это обычно связано с дороговизной и сложностью постановки каждого опыта. Такого ограниченного материала явно недостаточно для того, чтобы найти заранее неизвестный закон распределения случайной величины, но все же этот материал может быть обработан и использован для получения некоторых сведений о случайной величине. Например, на основе ограниченного статистического материала можно определить—хотя бы ориентировочно – важнейшие числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание или дисперсию. На практике часто бывает, что вид закона распределения известен заранее, а требуется найти только некоторые параметры, от которых он зависит. Например, если заранее известно, что закон распределения случайной величины нормальный, то задача обработки сводится к определению двух его параметров т и σ. Если заранее известно, что величина распределена по закону Пуассона, то подлежит определению только один его пара­метр: интенсивность λ. Наконец, в некоторых задачах вид закона распределения вообще несуществен, а требуется знать только его числовые характеристики.

Например, оцен­кой для математического ожидания может служить среднее арифме­тическое наблюденных значений случайной величины в п независимых опытах. При очень большом числе опытов среднее арифметическое будет с большой вероятностью весьма близко к математическому ожиданию. Если же число опытов невелико, то замена математиче­ского ожидания средним арифметическим приводит к какой-то ошибке. Эта ошибка в среднем тем больше, чем меньше число опытов. Так же будет обстоять дело и с оценками других неизвестных параметров. Любая из таких оценок случайна; при пользовании ею неизбежны ошибки. Желательно выбрать такую оценку; чтобы эти ошибки были по возможности минимальными.

Любое значение искомого параметра, вычисляемого на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Такое приближённое, случайное значение называют оценкой параметра. При большом числе опытов оценка будет близка к значению параметра, при малом может иметь место достаточно большая ошибка. Желательно выбрать оценку так, чтобы эта ошибка была минимальна.

Пусть имеется случайная величина X, закон распределения которой содержит параметр а. Надо найти оценку для а по результатам n независимых опытов.

Пусть в результате проведенных опытов были получены значения случайной величины:

.

Обозначим оценку для а как . Она должна быть функцией от наблюдаемых величин

.

Т.к. есть функция от случайных величин, то она тоже случайная величина. Закон распре­деления зависит, во-первых, от закона распределения величины X (и, в частности, от самого неизвестного параметра а), во-вторых, от числа опытов n.

Предъявим к ряд требований, которым она должна удо­влетворять, чтобы быть в каком-то смысле «доброкачественной» оценкой:

- оценка состоятельная, если при увеличении n она приближается (сходится по вероятности) к a;

- оценка несмещённая, если математическое ожидание оценки M[ã]=a;

- оценка, обла­дающая по сравнению с другими наименьшей дисперсией, называется эффективной.

На практике не всегда удаётся удовлетворить всем этим требованиям. Иногда в интересах простоты расчётов применяют незначительно смещённые оценки.