3.4. Равномерно-распределённые случайные числа (ррсч).

При исследовании систем методом имитационного моделирования существенное количество операций, а, следовательно, и времени расходуется на действия со случайными числами. Поэтому наличие простых и экономных способов программного формирования последовательностей случайных чисел во многом определяет возможность практического использования этого метода.

В качестве исходной (базовой) последовательности случайных чисел для имитации случайных факторов различной природы необходимо выбирать такую последовательность, которая может быть получена с наименьшими, по возможности затратами машинного времени и, кроме того, обеспечивает простоту и удобство дальнейших преобразований.

Практика показывает, что в наибольшей степени этим требованиям удовлетворяет последовательность случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1).

Непрерывная случайная величина η имеет равномерное распределение в интервале (a, b), если ее функции плотности (рис.3.1) и распределения (рис.3.2) имеют следующий вид

f(x)

а

b

x

1/(b-a)

Рис.3.1. Функция плотности равномерного

распределения

F(x)

1

b

x

a

Рис. 3.2. Функция вероятностей равномерного

распределения

Числовые характеристики этого распределения : математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение равны соответственно

При а = 0, b = 1 имеем

.

Это распределение требуется получить на ЭВМ. Но при этом следует учитывать то, машина оперирует с n-разрядными числами. Поэтому вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала (0, 1) используется дискретная последовательность 2ⁿ случайных чисел того же интервала. Закон распределения такой дискретной последовательности называют квазиравномерным распределением.

Рассмотрим характеристики этого распределения.

При использовании ЭВМ целые числа представляются в двоичном виде как ξ*=z₁z₂…z_n, где z_i принимает значение 0 или 1, а n – длина разрядной сетки. Если выполняется условие =0,5, то ξ* – квазиравномерно распределённые числа. Для получения интересующей нас последовательности чисел ξ из интервала (0, 1), надо числа ξ* пронормировать.

При n-разрядной двоичной сетке можно представить 2ⁿ различных значений :

Вероятность каждого значения равна .

Найдём математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины ξ.

.

Известно, что:

Отсюда:

.

Дисперсию можно найти, используя начальный момент :

.

Учитывая, что , получим:

Таким образом, математическое ожидание квазиравномерной случайной величины совпадает с математическим ожиданием равно­мерной случайной последовательности интервала (0, 1), а дисперсия отличается только множителем

,

который при до­статочно больших n близок к единице.